OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"

Куб. Формулы, признаки и свойства куба

Определение.
Куб (гексаедр) — это трехмерная фигура, которая состоит из шести динаковых квадратов так, что каждый квадрат полностью соприкасается своими четырьмя сторонами к сторонам остальных четырех квадратов под прямым углом. Куб является правильным многогранником, у которого грани образованы из квадратов. Также кубом можно назвать прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны.
Изображение куба с обозначениями Изображение куба с обозначениями

Определение. Грань куба - это часть плоскости, ограниченная сторонами квадрата.
- куб имеет шесть граней;
- каждая грань куба пересекается с четырьмя другими гранями под прямым углом и параллельная шестой грани;
- грани имеют одинаковую площадь, которую можно найти, используя формулы для вычисления площади квадрата.
Определение. Ребро куба - это отрезок, образованный пересечением двух граней куба.
- куб имеет двенадцать ребер;
- каждый конец ребра соединен с двумя соседними ребрами под прямым углом;
- ребра куба имеют одинаковую длину.
Определение. Вершина куба - это самая отдаленная от центра куба точка, которая лежит на пересечения трех граней куба.
- куб имеет восемь вершин;
- каждая вершина образована только тремя гранями и тремя ребрами.
Определение. Центр грани куба (O1) - это равноудалена точка от всех ребер грани куба.
Определение. Центр куба (O) - это равноудалена точка от всех граней куба.
Определение. Ось куба (i) - это прямая, проходящая через центр куба и центры двух параллельных граней куба.
- куб имеет три оси;
- оси куба взаимно перпендикулярны.
Определение. Диагональ куба (d1) - отрезок, который соединяет противоположные вершины куба и проходит через центр куба.
- куб имеет четыре диагонали;
- диагонали куба пересекаются под прямым углом и делятся пополам в центре куба;
- диагонали куба имеют одинаковую длину.
Формула. Диагональ куба d1 через длину ребра a:

d1 = a3

Определение. Диагональ грани куба (d2) -отрезок, который соединяет противоположные углы грани куба и проходит через центр грани куба.
Формула. Диагональ грани d2 через длину ребра a:

d2 = a2

Определение. Объём куба - это совокупность всех точек в пространстве, ограниченные гранями куба.
Формула. Объём куба через длину ребра a:

V = a3

Формула. Объём куба через длину диагонали куба d1:
V = d13
3√3
Определение. Площадь поверхности куба - это совокупность плоскостей всех граней.
Формула. Площадь поверхности куба через длину ребра a:

S = 6a2

Определение. Периметр куба - это совокупность длин всех ребер куба.
Формула. Периметр куба P через длину ребра a:

P = 12a

сфера вписана в куб с обозначениями
Определение. Сферой вписанной в куб называется сфера, центр которой совпадает с центром куба и которая касается центров граней куба.
- все шесть граней куба являются касательными плоскостями к вписанной сферы;
- радиус вписанной сферы равен половине длины ребра a.
Формула. Радиус вписанной сферы r через длину ребра a:
r = a
2
Формула. Объема вписанной сферы V через длину ребра a:
V = π a3
6
Сфера описана вокруг куба с обозначениями
Определение. Сферой описанной вокруг куба называется сфера, центр которой совпадает с центром куба и которая соприкасается с восьмью вершинами куба.
- радиус описанной сферы равен половине длины диагонали (d1) куба.
Формула. Радиус описанной сферы R через длину ребра a:
R = a3
2
Формула. Объема сферы описанной вокруг куба V через длину ребра a:
V = π a33
2

Свойства куба

1. В куб можно вписать тетраэдр так, чтобы все четыре вершины тетраэдра лежали на четырех вершинах куба, а все шесть ребер тетраэдра будут лежать на шести гранях куба и ребра будут равны диагонали грани куба.
2. В куб можно вписать правильный шестиугольник так, что все шесть вершин лежат в центрах граней куба.

Координаты вершин куба

Координаты вершин куба
1. Координаты вершин куба со стороной a и вершиной D в начале декартовой системы координат так, что ребра этой вершины лежат на осях координат:

A(a, 0, 0), B(a, a, 0), C(0, a, 0), D(0, 0, 0),
E(a, 0, a), F(a, a, a), G(0, a, a), H(0, 0, a).

координаты вершин куба
2. Координаты вершин куба с длиной стороны 2a, у которого центр куба находится в начале декартовой системы координат так, что ребра куба параллельны осям координат:

A(a, -a, -a), B(a, a, -a), C(-a, a, -a), D(-a, -a, -a),
E(a, -a, a), F(a, a, a), G(-a, a, a), H(-a, -a, a).

Определение. Единичный куб - это куб, у которого длина ребер равна единице.

Пересечение куба плоскостью

Пересечение куба плоскостью
1. Если пересечь куб плоскостью, проходящей через центр куба и центры двух противоположных граней, то в сечении будет квадрат, длина стороны которого будет равна длине ребра куба. Эта плоскость делит куб два равных прямоугольных параллелепипеда.

Пересечение куба плоскостью
2. Если пересечь куб с ребром a плоскостью, проходящей через центр куба и два параллельных ребра, то в сечении будет прямоугольник со сторонами a и a2, площадью сечения a22. Эта плоскость делит куб две равные призмы.

Пересечение куба плоскостью
3. Если пересечь куб плоскостью, проходящей через центр и середины шести граней, то в сечении будет правильный шестиугольник со стороной a2/2, площадью сечения a2(3√3)/4. У куба одна из диагоналей (FC) каждой грани, что пересекаются, перпендикулярна стороне шестиугольника.

Пересечение единичного куба плоскостью
4. Если пересечь куб плоскостью, проходящей через три вершины куба, то в сечении будет правильный треугольник со стороной a2, площадью сечения a23/2 и объемом большей части - 5a3/6 и меньшей - a3/6. Одна из диагоналей куба (EC) перпендикулярна к плоскости сечения и проходит через центр треугольника (M) и делится плоскостью в отношении MC:EМ = 2:1.


Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0