OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"

Угол между прямой и плоскостью.

Угол между прямой и плоскостью
Определение.
Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Формула вычисления угла между прямой и плоскостью

Если в пространстве заданы направляющий вектор прямой L

s = {l; m; n}

и уравнение плоскости

Ax + By + Cz + D = 0,

то угол между этой прямой и плоскостью можно найти используя формулу

sin φ | A · l + B · m + C · n |
A2 + B2 + C2 · √l2 + m2 + n2

Вывод формулы для вычисления угла между прямой и плоскостью

Из уравнения прямой можно найти направляющий вектор прямой

s = {l; m; n}

Из уравнения плоскости вектор нормали плоскости имеет вид

q = {A; B; C}

Из формул скалярного произведения векторов найдем косинус угла между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой

cos ψ | q · s |
| s | · |q |

Так как φ = 90° - ψ, то синус угла между прямой и плоскостью sin φ = cos ψ.

Расписав скалярное произведение векторов и модуль векторов через их координаты, получим формулу для вычисления угла между прямой и плоскостью.


Пример вычисления угла между прямой и плоскостью

Пример 1.
Найти угол между прямой
x - 4  =  y + 2  = -  z - 6
2 6 3
и плоскостью x - 2y + 3z + 4 = 0.

Решение.

Из уравнения прямой найдем направляющий вектор прямой

s = {2; 6; -3}

Из уравнения плоскости найдем вектор нормали плоскости

q = {1; -2; 3}

Воспользовавшись формулой, найдем угол между прямой и плоскостью

sin φ | 2 · 1 + 6 · (-2) + (-3) · 3 |  =
22 + 62 + (-3)2 · √12 + (-2)2 + 32
sin φ | 2 - 12 - 9 |  =  19  =  19
4 + 36 + 9 · √1 + 4 + 9 49 · √14 7√14
Ответ: 
sin φ 19
7√14

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0