OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение
— это уравнение вида
a x2 + b x + c = 0,
где a не равно 0.
Парабола

Геометрический смысл

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют точки пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня.

Если коэффициент a положительный, ветви параболы направлены вверх, если отрицательный — ветви параболы направлены вниз. Если коэффициент b положительный, то вершина параболы лежит в левой полуплоскости, если отрицательный — в правой полуплоскости.

Вывод формулы для решения квадратного уравнения

Формулу для решения квадратного уравнения
a x2 + b x + c = 0
можно получить так:
  • перенесем c в правую часть
    a x2 + b x = - c
  • умножим уравнение на 4a
    (2a x)2 + 4a b x = - 4a c
  • добавим b2 к обоим частям
    (2a x)2 + 4a b x + b2 = b2 - 4a c
  • в левой части выделим полный квадрат
    (2a x + b)2 = b2 - 4a c
  • извлечем квадратный корень
    2a x + b = ± √b2 - 4a c
  • перенесем b в правую часть
    2a x = - b ± √b2 - 4a c
  • разделим уравнение на 2a
    x =  -b ± √b2 - 4a c
    2 a

Дискриминант квадратного уравнения

Дискриминантом
квадратного уравнения называют число равное
D = b2 − 4ac

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта:

  • при D > 0 корней два, и они вычисляются по формуле
    x1,2 =  -b ± √D
    2 a
  • при D = 0 корень один (два равных или совпадающих корня), кратности 2:
    x =  -b
    2 a
  • при D < 0 вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся формулой
    x1,2 =  -b ± i-D
    2 a

Теорема Виета

Приведенным квадратным уравнением
называется уравнение, в котором коэффициент при x2 равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на коэффициент a:
x2 + px + q = 0,
где p = ba, q = ca

Сумма корней приведённого квадратного уравнения

x2 + px + q = 0
равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q:
      x1 + x2 = -p,      x1x2 = q.

Разложение квадратного уравнения на множители

Если известны оба корня квадратного уравнения, его можно разложить по формуле

ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)

Примеры решения квадратных уравнений

Например. Найти корни квадратного уравнения: 2x2 + 5x + 3 = 0
D = 52 - 4·3·2 = 25 - 24 = 1

x1 =  -5 + √1  = -1,
2·2
x2 =  -5 - √1  = -1 1
2·2 2
Упражнения. Квадратные уравнения.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0