OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"

Логарифм числа.

Логарифмом числа 

b
 по основанию
a
называется показатель степени, в которую надо возвести основание 
a
,  чтобы получилось число 
b
.

Обозначение:

loga b
.

Читаем: "логарифм от 

b
по основанию 
a
".

Нахождение логарифма равносильно решению показательного уравнения:

Показательное уравнение:

ax=b,

 при условии  a>0; a≠1; b>0, где 

x — показатель степени,

a — основа степени,

b — степень числа a.

 
 

Логарифмическое уравнение: 

loga b=x,

при условииa>0; a≠1; b>0,где

x — логарифм числа b

по основанию a,

a — основа логарифма,

b — число, которое стоит

под знаком логарифма.

 

Примеры:

25=32 ⇔ 5= log2 32;

34=81 ⇔ 4= log3 81;

log1/5 125=-3 

⇔ (1/5)-3=125;

log2 (1/16)=-4 

2-4=1/16;

 

Основное логарифмическое тождество:

loga b,

при условии a>0; a≠1; b>0.

3log3 7,

3 -log3 = 1/3 log3 7=1/7,

log2 2 2log2 7=(log2 7)2=72,

1+log2 7 =2·log2 7= 2·7=14,

 

  

Десятичным логарифмом числа b  называется логарифм числа b   по основанию 10 .

Обозначение:  lg b =log10 

Свойство:    10lg b =b .

Примеры:

lg 10 =log10 10=1;

lg 100 =log10 100= log10 102=2 log10 10=2·1=2;

lg 1000 =log10 1000= log10 103=3 log10 10=3·1=3;

 lg 0,1 =log10  0,1= log10 10-1=-1 log10 10=-1;

 lg 0,01 =log10  0,01= log10 10-2=-2 log10 10=-2·1=-2;

 lg 0,001 =log10  0,001= log10 10-3=-3 log10 10=-3·1=-3.  

Свойства логарифмов 
  •  logb b =1 , b>0, b≠1,  поскольку  b1=b.

Логарифм числа по том же положительном ( b>0 ) отличным от нуля основании ( b≠1 ) равен единицы 1.

Примеры:

log10 10 =1;

log1/3 1/3 =1;

log7 x=1, отсюда x=7;

 

  •  loga 1 =0 , a>0, a≠1, поскольку  a0=1.
Логарифм единицы 1 по любому положительному ( a>0 ) отличныму от нуля ( a≠1 )  основанию равен нулю 0.

Примеры:

log19 1 =0;

log6 x =0, отсюда  x=1;

 

  •     loga(bc)=  loga b +   loga c ,  b>0, c>0,a>0,a≠1, — логарифм произведения.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов.

Примеры:

lg 18  =lg (6·3)= lg 6 + lg 3;

lg 50 + lg 2 =lg (50·2) =lg 100=2;

 
  •  loga(b/c)=  loga b —   loga c ,  b>0, c>0,a>0,a≠1, — логарифм дроби (частного).

Логарифм частного равен разности логарифмов числителя и знаменателя.

Примеры:

log4 4/7 =log4 4 –  log4 7 =

=1 – log4 7;

log3 5 –  log3 5/27 =

=log3 (5: 5/27) = log3 27 = 3;

 
  •  logabn= loga b,  b>0,a>0,a≠1, — логарифм степени,
  •  logab1/n= 1/ loga b,  b>0,a>0,a≠1. 

Логарифм степени равен произвидению показателя и логарифма основания.

Примеры:

log4 64 = log4 43 = 3· log4 4 = 3·1 =  3 ;

lg 16 = lg 24 = 4· lg 2 ;

lg √343 = lg √73 = lg 73/2 = 3/2· lg 7 ;

11· lg x = lg x11;

 

  •  logamb =1/m · loga b,    b>0,a>0,a≠1,
  •  logambn=n/m · loga b,  b>0,a>0,a≠1,

Примеры:

log252= log522= 1/2· log 5 2;

log√77= log71/27= 1/(1/2)· log7 7= log7 7= 2·1=2;

log31/233/2= (3/2)/(1/2)· log3 3= log3 3= 3·1=3;

  •  loga b =1/ logb a;
  •  loga b = logc b /  logc a;  — переход к новому основанию

Примеры:

log611 · log116= log611 · 1/ log611= 1;

log73 · log35= log7 (log75/ log73)= log75; — переход к новому основанию

 

Логарифмированием  называется нахождение логарифмов заданных чисел или выражений

Логарифмирование 

Прологарифмировать выражения по произвольному основанию a .

Используем правило: логарифм произведения.

1) x= 3abc;

logax= loga3+ logaa+ logab+ logac.

Используем правила: логарифм произведения, логарифм частного (дроби).

2) x= ab/4;

logax= logaa+ logab- logac.

Используем правила: логарифм произведения, логарифм степени.

3) x= 2m8n6;

logax= loga2+ 8logam+ 6logan.

 

Потенцированием  называется нахождение чисел (выражения) по заданому логарифму числа (выражения).

Потенцирование 

Пропотенцировать выражение и найти х .

Сумму логарифмов заменим: логарифмом произведения:

1) lgx= lg2+ logm+ lgn;

lgx= lg2mn;

x= 2mn.

Запишем правило, обратное логарифму степени и частного:

2) lgx= 5 lga- 7 lgb;

lgx= lga5- lgb7;

x= a5/b7.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0