OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"

Определитель матрицы.

Определитель матрицы или детерминант матрицы - это одна из основных численных характеристик квадратной матрицы, применяемая при решении многих задач.
Определение.
Определителем матрицы n×n будет число:
det(A) = Σ(-1)N(α1,α2,...,αn)·aα11·aα22·...·aαnn
(α1,α2,...,αn)
где (α1,α2,...,αn) - перестановка чисел от 1 до n, N(α1,α2,...,αn) - число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n.
Обозначение
Определитель матрици A обычно обозначается det(A), |A|, или ∆(A).

Свойства определителя матрицы

  1. Определитель единичной матрицы равен единице:

    det(E) = 1

  2. Определитель матрицы с двумя равными строками (столбцами) равен нулю.
  3. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.
  4. Определитель матрицы, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.
  5. Определитель матрицы равен нулю если две (или несколько) строк (столбцев) матрицы линейно зависимы.
  6. При транспонировании значение определителя матрицы не меняется:

    det(A) = det(AT)

  7. Определитель обратной матрицы:

    det(A-1) = det(A)-1

  8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число.
  9. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить линейную комбинации других строк (столбцов).
  10. Если поменять местами две строки (столбца) матрицы, то определитель матрицы поменяет знак.
  11. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя:
    a11a12...a1n
    a21a22...a2n
    ....
    k·ai1k·ai2...k·ain
    ....
    an1an2...ann
     = k
    a11a12...a1n
    a21a22...a2n
    ....
    ai1ai2...ain
    ....
    an1an2...ann
  12. Если квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени:

    B = k·A   =>   det(B) = kn·det(A)

    где A матрица n×n, k - число.
  13. Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем:
    a11a12...a1n
    a21a22...a2n
    ....
    bi1 + ci1bi2 + ci2...bin + cin
    ....
    an1an2...ann
     = 
    a11a12...a1n
    a21a22...a2n
    ....
    bi1bi2...bin
    ....
    an1an2...ann
     + 
    a11a12...a1n
    a21a22...a2n
    ....
    ci1ci2...cin
    ....
    an1an2...ann
  14. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.
  15. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц:

    det(A·B) = det(A)·det(B)


Методы вычисления определителя матрицы

Вычисление определителя матрицы 1×1

Правило:
Для матрицы первого порядка значение определителя равно значению элемента этой матрицы:

∆ = |a11| = a11


Вычисление определителя матрицы 2×2

Правило:
Для матрицы 2×2 значение определителя равно разности произведений элементов главной и побочной диагоналей:
∆ = 
a11a12
a21a22
 = a11·a22 - a12·a21
Пример 1.
Найти определитель матрицы A
A = 
(57)
-41

Решение:

det(A) = 
57
-41
 = 5·1 - 7·(-4) = 5 + 28 = 33


Вычисление определителя матрицы 3×3

Правило треугольника для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка

Правило:
Для матрицы 3×3 значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.
определитель + определитель -
+

∆ = 
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
 =

a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 - a13·a22·a31 - a11·a23·a32 - a12·a21·a33

Правило Саррюса для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка

Правило:
Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":
∆ = 
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
 =

a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 - a13·a22·a31 - a11·a23·a32 - a12·a21·a33

Пример 2.
Найти определитель матрицы A
A = 
(571)
-410
203

Решение:

det(A) = 
5 7 1
-4 1 0
2 0 3
 = 5·1·3 + 7·0·2 + 1·(-4)·0 - 1·1·2 - 5·0·0 - 7·(-4)·3 =

= 15 + 0 + 0 - 2 - 0 + 84 = 97



Вычисление определителя матрицы произвольного размера

Разложение определителя по строке или столбцу

Правило:
Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения:
n
det(A) = Σaij·Aij          - разложение по i-той строке
j = 1
Правило:
Определитель матрицы равен сумме произведений элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:
n
det(A) = Σaij·Aij          - разложение по j-тому столбцу
i = 1

При разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов.

Пример 3.
Найти определитель матрицы A
A = 
(241)
021
211

Решение: Вычислим определитель матрицы разложив его по первому столбцу:

det(A) = 
241
021
211
 =
= 2·(-1)1+1·
21
11
 + 0·(-1)2+1·
41
11
 + 2·(-1)3+1·
41
21
 =

= 2·(2·1 - 1·1) + 2·(4·1 - 2·1) = 2·(2 - 1) + 2·(4 - 2) = 2·1 + 2·2 = 2 + 4 = 6


Пример 4.
Найти определитель матрицы A
A = 
(2411)
0200
2113
4023

Решение: Вычислим определитель матрицы, разложив его по второй строке (в ней больше всего нулей):

det(A) = 
2411
0200
2113
4023
 =
= -0·
411
113
023
 + 2·
211
213
423
 - 0·
241
213
403
 + 0·
241
211
402
 =

= 2·(2·1·3 + 1·3·4 + 1·2·2 - 1·1·4 - 2·3·2 - 1·2·3) = 2·(6 +12 + 4 - 4 - 12 - 6) = 2·0 = 0


Приведение определителя к треугольному виду

Правило:
Используя свойства определителя для элементарных преобразований над строками и столбцами 8 - 11, определитель приводится к треугольному виду, и тогда его значение будет равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.
Пример 5.
Найти определитель матрицы A приведением его к треугольному виду
A = 
(2411)
0210
2113
4023

Решение:

det(A) = 
2411
0210
2113
4023

Сначала получим нули в первом столбце под главной диагональю. Для этого отнимем от 3-тей строки 1-ую строку, а от 4-той строки 1-ую строку, умноженную на 2:

det(A) = 
2411
0210
2 - 21 - 41 - 13 - 1
4 - 2·20 - 2·42 - 2·13 - 2·1
 = 
2411
0210
0-302
0-801

Получим нули во втором столбце под главной диагональю. Для этого поменяем местами 2-ой и 3-тий столбцы:

det(A) = -
2141
0120
00-32
00-81

Получим нули в третьем столбце под главной диагональю. Для этого к 3-ему столбцу добавим 4-тий столбец, умноженный на 8:

det(A) = -
214 + 8·11
012 + 8·00
00-3 + 8·22
00-8 + 8·11
 = -
21121
0120
00132
0001
 = -2·1·13·1 = -26

Теорема Лапласа

Теорема:
Пусть ∆ - определитель n-ого порядка. Выберем в нем произвольные k строк (столбцов), причем k < n. Тогда сумма произведений всех миноров k-ого порядка, которые содержатся в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0