OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"

Элементарные преобразования матрицы.

Определение.
Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц, то есть, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.

Элементарными преобразованиями строк называют:

  • перестановку местами любых двух строк матрицы;
  • умножение на ненулевую константу любой строки матрицы;
  • прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на ненулевое число.

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.


Определение.
Матрицы A и B называют эквивалентными матрицами если от матрицы A к матрице B перешли с помощью элементарных преобразований над строками и обозначают A ~ B.

Примеры на элементарные преобразования матрицы

Пример 1.
Используя элементарные преобразования строк преобразовать матрицу A в верхнюю треугольную матрицу, где
A =  (  4  2  0  )
 1  3  2 
 -1  3  10 

Решение:

поменяем первую и вторую строку местами

(  4  2  0  )  ~  (  1  3  2  )  ~ 
 1  3  2  4  2  0 
 -1  3  10  -1  3  10 

ко 2-рой строке прибавим 1-вую, умноженную на -4; к третей строке прибавим первую

 ~  (  1  3  2  )  ~  (  1  3  2  )  ~ 
 4 + (-4)·1  2 + (-4)·3  0 + (-4)·2  0  -10  -8 
 -1 + 1  3 + 3  10 + 2  0  6  12 

2-рую строку поделим на -2, третью строку делим на 6

 ~  (  1  3  2  )  ~  (  1  3  2  )  ~ 
 0  -10/(-2)  -8/(-2)  0  5  4 
 0  6/6  12/6  0  1  2 

поменяем вторую и третью строку местами

 ~  (  1  3  2  )  ~ 
 0  1  2 
 0  5  4 

к 3-тей строке прибавим 2-рую, умноженную на -5

 ~  (  1  3  2  )  ~  (  1  3  2  )
 0  1  2  0  1  2 
 0  5 + (-5)·1  4 + (-5)·2  0  0  -6 

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0