OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"

Ранг матрицы.

Определение.
Рангом системы строк (столбцов) называется максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой системы.
Теорема.
Ранг системы строк матрицы равен её рангу системы столбцов.
Определение.
Рангом матрицы A называется ранг её системы строк или столбцов.

Обычно ранг матрицы A обозначается rank(A) или rang(A)


Свойства матрицы связанные с рангом


Методы вычисления ранга матрицы

Метод элементарных преобразований

Используя свойства матрицы связанные с ее рангом, получен метод расчета ранга наиболее часто использующийся на практике.
Метод 1.
Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду, используя элементарные преобразования над строками и столбцами матрицы.

Метод окаймления миноров

Теорема.
Ранг матрицы равен наибольшему порядку не равного нулю минора.
Метод 2.
Если в матрице A найден ненулевой минор k-го порядка M. Рассмотрим все миноры (k + 1)-го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор M; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. Если среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, то вся процедура повторяется.

Пример.
Вычислить ранг матрицы A, где
A =  ( 4201 )
2123
03101
4246

Решение:

От 1-ой строки отнимем 2-ую умноженную на 2, от 4-той отнимем 2-ую умноженную на 2

( 4201 )  ~  ( 00-4-5 )  ~ 
2123 2123
03101 03101
4246 0000

Поменяем местами строки

 ~  ( 2123 )
03101
00-4-5
0000

полученная матрица есть является ступенчатой, значит rank(A) = 3.

Ответ: rank(A) = 3.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0