OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"

Куб разности

Определение.
Куб разности двух выражений равен кубу первого, минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго выражения, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения и первого выражения, минус куб второго выражения:
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Вывод формулы куба разности

Для доказательства справедливости формулы куба разности достаточно перемножить выражения раскрыв скобки:

(a - b)3 = (a - b)·(a - b)2 =

= (a - b)·(a2 - 2ab + b2) =

= a3 - 2a2b + ab2 - ba2 + 2b2a - b3 =

= a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Применение формулы куба разности

Формулу куба разности удобно использовать:
  • для раскрытия скобок
  • для упрощения выражений

Примеры задач на применение формулы куба разности

Пример 1.
Раскрыть скобки (x - 3)3.

Решение. Для решения воспользуемся формулой куба разности:

(x - 3)3 = x3 - 3·3·x2 + 3·32·x - 33 =

= x3 - 9x2 + 27x - 27
Пример 2.
Раскрыть скобки (2x - 3y2)3.

Решение. Для решения воспользуемся формулой куба разности:

(2x - 3y2)3 =

= (2x)3 - 3·(2x)2·(3y2) + 3·(2x)·(3y2)2 - (3y2)3 =

= 8x3 - 36x2y2 + 54xy4 - 27y6
Пример 3.
Упростить выражение 27x3 - 27x2 + 9x - 19x2 - 6x + 1.

Решение:

Можно заметить, что выражение в числителе - это разложенный куб разности, а в знаменателе - квадрат разности

27x3 - 27x2 + 9x - 19x2 - 6x + 1 = (3x - 1)3(3x - 1)2 = 3x - 1

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0