OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"

Квадрат суммы

Определение.
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого, плюс удвоенное произведение первого и второго, плюс квадрат второго:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Вывод формулы квадрата суммы

Для доказательства справедливости формулы квадрата суммы достаточно перемножить выражения раскрыв скобки:

(a + b)2 = (a + b)·(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2

Применение формулы квадрата суммы

Формулу квадрата суммы удобно использовать:
  • для раскрытия скобок
  • для упрощения выражений
  • для вычисления квадратов больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик

Геометрическая интерпретация

Формулу квадрата суммы двух положительных чисел a и b можно изобразить геометрически

Рассмотрим квадрат со стороной (a + b), его площадь равна (a + b)2.

В противоположных углах рассматриваемого квадрата построим квадраты со сторонами a и b.

Тогда большой начальный квадрат, будет разделен на четыре части: два квадрата с площадями a2 и b2, а также два прямоугольника с площадями равными ab. Тогда получаем, что

(a + b)2 = (a + b)·(a + b) = a2 + b2 + ab+ ab = a2 + 2ab + b2

Примеры задач на применение формулы квадрата суммы

Пример 1.
Раскрыть скобки (x + 3)2.

Решение:

(x + 3)2 = x2 + 2·3·x + 32 = x2 + 6x + 9
Пример 2.
Раскрыть скобки (2x + 3y2)2.

Решение:

(2x + 3y2)2 = (2x)2 + 2·(2x)·(3y2) + (3y2)2 = 4x2 + 12xy2 + 9y4
Пример 3.
Упростить выражение 9x2 + 6x + 1(3x + 1).

Решение:

Можно заметить, что выражение в числителе - это разложенный квадрат суммы

9x2 + 6x + 1(3x + 1) = (3x + 1)2(3x + 1) = 3x + 1
Заметим, что с помощью формулы квадрата суммы легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик.
Пример 4.
Вычислить 712.

Решение:

712 = (70 + 1)2 = 702 + 2·70·1 + 12 = 4900 + 140 + 1 = 5041

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0