OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"

Куб суммы

Определение.
Куб суммы двух выражений равен кубу первого, плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго выражения, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения и первого выражения, плюс куб второго выражения:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Вывод формулы куба суммы

Для доказательства справедливости формулы куба суммы достаточно перемножить выражения раскрыв скобки:

(a + b)3 = (a + b)·(a + b)2 =

= (a + b)·(a2 + 2ab + b2) =

= a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2b2a + b3 =

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Применение формулы куба суммы

Формулу куба суммы удобно использовать:
  • для раскрытия скобок
  • для упрощения выражений

Примеры задач на применение формулы куба суммы

Пример 1.
Раскрыть скобки (x + 3)3.

Решение:

(x + 3)3 = x3 + 3·3·x2 + 3·32·x + 33 =

= x3 + 9x2 + 27x + 27
Пример 2.
Раскрыть скобки (2x + 3y2)3.

Решение:

(2x + 3y2)3 =

= (2x)3 + 3·(2x)2·(3y2) + 3·(2x)·(3y2)2 + (3y2)3 =

= 8x3 + 36x2y2 + 54xy4 + 27y6
Пример 3.
Упростить выражение 27x3 + 27x2 + 9x +19x2 + 6x + 1.

Решение:

Можно заметить, что выражение в числителе - это разложенный куб суммы, а в знаменателе - квадрат суммы

27x3 + 27x2 + 9x +19x2 + 6x + 1 = (3x + 1)3(3x + 1)2 = 3x + 1

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0