Компланарность векторов. Условия компланарности векторов.

Пример 1. Проверить компланарны ли три вектора a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.

Решение: найдем смешанное произведение векторов

a · [b × с] =	1	2	3	=
	1	1	1
	1	2	1

= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

Ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.

Пример 2. Доказать что три вектора a = {1; 1; 1}, b = {1; 3; 1} и c = {2; 2; 2} компланарны.

Решение: найдем смешанное произведение векторов

a · [b × с] =	1	1	1	=
	1	3	1
	2	2	2

= 1·2·3 + 1·1·2 + 1·1·2 - 1·2·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 6 + 2 + 2 - 6 - 2 - 2 = 0

Ответ: вектора компланарны так, как их смешанное произведение равно нулю.

Пример 3. Проверить коллинеарны ли вектора a = {1; 1; 1}, b = {1; 2; 0}, c = {0; -1; 1}, d = {3; 3; 3}.

Решение: найдем количество линейно независимых векторов, для этого запишем значения векторов в матрицу, и выполним над ней элементарные преобразования

	1	1	1		~
	1	2	0
	0	-1	1
	3	3	3

из 2-рой строки вычтем 1-вую; из 4-той строки вычтем 1-вую умноженную на 3

~		1	1	1		~		1	1	1		~
		1 - 1	2 - 1	0 - 1				0	1	-1
		0	-1	1				0	-1	1
		3 - 3	3 - 3	3 - 3				0	0	0

к 3-тей строке добавим 2-рую

~		1	1	1		~		1	1	1
		0	1	-1				0	1	-1
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)				0	0	0
		3 - 3	3 - 3	3 - 3				0	0	0

Так как осталось две ненулевые строки, то среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.

Ответ: вектора компланарны так, как среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.