OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"
ГлавнаяУпражненияОнлайн решебникСправочникТаблицы и формулыОбратная связьЗаказать решение


Компланарность векторов. Условия компланарности векторов.


Определение.
Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами. (рис. 1).

Компланарные вектора
рис. 1

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по-этому любые два вектора всегда компланарные.

Условия компланарности векторов

  • Для 3-х векторов.
    Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.
  • Для 3-х векторов.
    Три вектора компланарны если они линейно зависимы.
  • Для n векторов.
    Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.


Примеры задач на компланарность векторов

Пример 1.
Проверить компланарны ли три вектора a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.

Решение: найдем смешанное произведение векторов

a · [b × с] =    1     2     3    =
  1     1     1  
  1     2     1  

= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

Ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.

Пример 2.
Доказать что три вектора a = {1; 1; 1}, b = {1; 3; 1} и c = {2; 2; 2} компланарны.

Решение: найдем смешанное произведение векторов

a · [b × с] =    1     1     1    =
  1     3     1  
  2     2     2  

= 1·2·3 + 1·1·2 + 1·1·2 - 1·2·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 6 + 2 + 2 - 6 - 2 - 2 = 0

Ответ: вектора компланарны так, как их смешанное произведение равно нулю.

Пример 3.
Проверить коллинеарны ли вектора a = {1; 1; 1}, b = {1; 2; 0}, c = {0; -1; 1}, d = {3; 3; 3}.

Решение: найдем количество линейно независимых векторов, для этого запишем значения векторов в матрицу, и выполним над ней элементарные преобразования

  1     1     1    ~
  1     2     0  
  0     -1     1  
  3     3     3  

из 2-рой строки вычтем 1-вую; из 4-той строки вычтем 1-вую умноженную на 3

  1     1     1    ~    1     1     1    ~ 
  1 - 1     2 - 1     0 - 1     0     1     -1  
  0     -1     1     0     -1     1  
  3 - 3     3 - 3     3 - 3     0     0     0  

к 3-тей строке добавим 2-рую

  1     1     1    ~    1     1     1  
  0     1     -1     0     1     -1  
  0 + 0     -1 + 1     1 + (-1)     0     0     0  
  3 - 3     3 - 3     3 - 3     0     0     0  

Так как осталось две ненулевые строки, то среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.

Ответ: вектора компланарны так, как среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.


Смотрите также:

Добавить комментарий



© 2011-2014 Довжик Михаил
Копирование материала запрещено.
СЕРВИСЫ

  Онлайн калькуляторы
  Онлайн упражнения
  Справочник
  Таблицы и формулы
OnlineMSchool

  Оплата услуг
  О проекте
  Новости сайта
  Помочь сайту
  Обратная связь
  support@onlinemschool.com