OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"

Линейно зависимые и линейно независимые вектора.

Определение. Линейной комбинацией векторов a1, ..., an с коэффициентами x1, ..., xn называется вектор

x1a1 + ... + xnan.
Определение. Линейная комбинация x1a1 + ... + xnan называется тривиальной, если все коэффициенты x1, ..., xn равны нулю.
Определение. Линейная комбинация x1a1 + ... + xnan называется нетривиальной, если хотябы один из коэффициентов x1, ..., xn не равен нулю.
Определение. Вектора a1, ..., an называются линейно независимыми, если не существует нетривиальной комбинации этих векторов равной нулевому вектору.
Тоесть вектора a1, ..., an линейно независимы если x1a1 + ... + xnan = 0 тогда и только тогда, когда x1 = 0, ..., xn = 0.
Определение. Вектора a1, ..., an называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация этих векторов равная нулевому вектору.

Свойства линейно зависимых векторов:

  • Для 2-х и 3-х мерных векторов.
    Два линейно зависимые вектора - коллинеарные. (Коллинеарные вектора - линейно зависимы.) .
  • Для 3-х мерных векторов.
    Три линейно зависимые вектора - компланарные. (Три компланарные вектора - линейно зависимы.)
  • Для n -мерных векторов.
    n + 1 вектор всегда линейно зависимы.


Примеры задач на линейную зависимость и линейную независимость векторов:

Пример 1. Проверить будут ли вектора a = {3; 4; 5}, b = {-3; 0; 5}, c = {4; 4; 4}, d = {3; 4; 0} линейно независимыми.

Решение:

Вектора будут линейно зависимыми, так как размерность векторов меньше количества векторов.

Пример 2. Проверить будут ли вектора a = {1; 1; 1}, b = {1; 2; 0}, c = {0; -1; 1} линейно независимыми.

Решение: Найдем значения коэффициентов при котором линейная комбинация этих векторов будет равна нулевому вектору.

x1a + x2b + x3c1 = 0

Это векторное уравнение можно записать в виде системы линейных уравнений

{  x1 + x2 = 0
x1 + 2x2 - x3 = 0
x1 + x3 = 0

Решим эту систему используя метод Гаусса

(   1     1     0     0   )  ~
  1     2     -1     0  
  1     0     1     0  

из второй строки вычтем первую; из третей строки вычтем первую:

(   1     1     0     0   )   ~    (   1     1     0     0   )  ~
  1 - 1     2 - 1     -1 - 0     0 - 0     0     1     -1     0  
  1 - 1     0 - 1     1 - 0     0 - 0     0     -1     1     0  

из первой строки вычтем вторую; к третей строке добавим вторую:

(   1 - 0     1 - 1     0 - (-1)     0 - 0   )   ~    (   1     0     1     0   )
  0     1     -1     0     0     1     -1     0  
  0 + 0     -1 + 1     1 + (-1)     0 + 0     0     0     0     0  

Данное решение показывает, что система имеет множество решений, то есть существует не нулевая комбинация значений чисел x1, x2, x3 таких, что линейная комбинация векторов a, b, c равна нулевому вектору, например:

-a + b + c = 0

а это значит вектора a, b, c линейно зависимы.

Ответ: вектора a, b, c линейно зависимы.

Пример 3. Проверить будут ли вектора a = {1; 1; 1}, b = {1; 2; 0}, c = {0; -1; 2} линейно независимыми.

Решение: Найдем значения коэффициентов при котором линейная комбинация этих векторов будет равна нулевому вектору.

x1a + x2b + x3c1 = 0

Это векторное уравнение можно записать в виде системы линейных уравнений

{  x1 + x2 = 0
x1 + 2x2 - x3 = 0
x1 + 2x3 = 0

Решим эту систему используя метод Гаусса

(   1     1     0     0   )  ~
  1     2     -1     0  
  1     0     2     0  

из второй строки вычтем первую; из третей строки вычтем первую:

(   1     1     0     0   )   ~    (   1     1     0     0   )  ~
  1 - 1     2 - 1     -1 - 0     0 - 0     0     1     -1     0  
  1 - 1     0 - 1     2 - 0     0 - 0     0     -1     2     0  

из первой строки вычтем вторую; к третей строке добавим вторую:

(   1 - 0     1 - 1     0 - (-1)     0 - 0   )   ~    (   1     0     1     0   )  ~
  0     1     -1     0     0     1     -1     0  
  0 + 0     -1 + 1     2 + (-1)     0 + 0     0     0     1     0  

из первой строки вычтем третью; к второй строке добавим третью:

(   1 - 0     0 - 0     1 - 1     0 - 0   )   ~    (   1     0     0     0   )
  0 + 0     1 + 0     -1 + 1     0 + 0     0     1     0     0  
  0     0     1     0     0     0     1     0  

Данное решение показывает, что система имеет единственное решение x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, а это значит вектора a, b, c линейно независимые.

Ответ: вектора a, b, c линейно независимые.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0