OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"

Скалярное произведение векторов.

Геометрическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:
a · b = |a| · |b| cos α
Алгебраическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.

Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {ax ; ay} и b = {bx ; by} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = ax · bx + ay · by

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = {ax ; ay ; az} и b = {bx ; by ; bz} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = ax · bx + ay · by + az · bz

Формула скалярного произведения n -мерных векторов

В случае n-мерного пространства скалярное произведение векторов a = {a1 ; a2 ; ... ; an} и b = {b1 ; b2 ; ... ; bn} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a1 · b1 + a2 · b2 + ... + an · bn

Свойства скалярного произведения векторов

  1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:
    a · a ≥ 0
  2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:
    a · a = 0   <=>   a = 0
  3. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:
    a · a = |a|2
  4. Операция скалярного умножения коммуникативна:
    a · b = b · a
  5. Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:
    a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0   <=>   a b
  6. (αa) · b = α(a · b)
  7. Операция скалярного умножения дистрибутивна:
    (a + b) · c = a · c + b · c


Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов

Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач

Пример 1. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2} и b = {4; 8}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Пример 2. Найти скалярное произведение векторов a и b, если их длины |a| = 3, |b| = 6, а угол между векторами равен 60˚.

Решение: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Пример 3. Найти скалярное произведение векторов p = a + 3b и q = 5a - 3 b, если их длины |a| = 3, |b| = 2, а угол между векторами a и b равен 60˚.

Решение:

p · q = (a + 3b) · (5a - 3b) = 5 a · a - 3 a · b + 15 b · a - 9 b · b =

= 5 |a|2 + 12 a · b - 9 |b|2 = 5 · 32 + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ - 9 · 22 = 45 +36 -36 = 45.

Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач

Пример 4. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5} и b = {4; 8; 1}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов

Пример 5. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5; 2} и b = {4; 8; 1; -2}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0