OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"

Векторное произведение векторов.

Определение. Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от a к b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c (рис. 1).
Векторное произведение векторов
рис. 1

Формулы вычисления векторного произведения векторов

Векторное произведение двух векторов a = {ax; ay; az} и b = {bx; by; bz} в декартовой системе координат - это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:

a × b =     i      j      k     = i(aybz - azby) - j(axbz - azbx) + k(axby - aybx)
 ax  ay  az 
 bx  by  bz 
a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}

Свойства векторного произведения векторов

  • Геометрический смысл векторного произведения.
    Модуль векторного произведения двух векторов a и b равен площади параллелограмма построенного на этих векторах:
    Sпарал = [a × b]
  • Геометрический смысл векторного произведения.
    Площадь треугольника построенного на векторах a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов:
    SΔ = 1|a × b|
    2
  • Векторное произведения двух не нулевых векторов a и b равно нулю тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны.
  • Вектор c, равный векторному произведению не нулевых векторов a и b, перпендикулярен этим векторам.
  • a × b = -b × a
  • (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
  • (a + b) × c = a × c + b × c

Примеры задач на вычисления векторного произведения векторов

Пример 1. Найти векторное произведение векторов a = {1; 2; 3} и b = {2; 1; -2}.

Решение:

a × b  i   j   k   =
 1   2   3 
 2   1   -2 

= i(2 · (-2) - 3 · 1) - j(1 · (-2) - 2 · 3) + k(1 · 1 - 2 · 2) =

= i(-4 - 3) - j(-2 - 6) + k(1 - 4) = -7i + 8j - 3k = {-7; 8; -3}
треугольник построенный на векторах
Пример 2. Найти площадь треугольника образованного векторами a = {-1; 2; -2} и b = {2; 1; -1}.

Решение: Найдем векторное произведение этих векторов:

a × b  i   j   k   =
 -1   2   -2 
 2   1   -1 

= i(2 · (-1) - (-2) · 1) - j((-1) · (-1) - (-2) · 2) + k((-1) · 1 - 2 · 2) =

= i(-2 + 2) - j(1 + 4) + k(-1 - 4) = -5j - 5k = {0; -5; -5}

Из свойств векторного произведения:

SΔ = 1|a × b| = 102 + 52 + 52125 + 251505√2
22222

Ответ: SΔ = 2.5√2.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0