OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"

Смешанное произведение векторов.

Определение. Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c.

Формулы вычисления смешанного произведения векторов

Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, составленной из этих векторов.

Смешанное произведение векторов a = {ax; ay; az}, b = {bx; by; bz} и c = {cx; cy; cz} в декартовой системе координат можно вычислить, используя следующую формулу:

a · [b × c] =  ax  ay  az 
 bx  by  bz 
 cx  cy  cz 

Свойства смешанного произведения векторов

  • Геометрический смысл смешанного произведения.
    Модуль смешанного произведения трех векторов a, b и с равен объёму параллелепипеда, образованного этими векторами:
    Vпарал = |a · [b × c]|
  • Геометрический смысл смешанного произведения.
    Объем пирамиды образованной тремя векторами a, b и с равен одной шестой части от модуля смешанного произведения этих векторов:
    Vпир1|a · [b × c]|
    6
  • Если смешанного произведения трех не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора компланарные.
  • a · [b × c] = b · (a · c) - c · (a · b)
  • a · [b × c] = b · [c × a] = c · [a × b] = -a · [c × b] = -b · [a × c] = -c · [b × a]
  • a · [b × c] + b · [c × a] + c · [a × b] = 0 - тождество Якоби.

Примеры задач на вычисления смешанного произведения векторов

Пример 1. Найти смешанное произведение векторов a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.

Решение:

a · [b × с] =    1     2     3    =
  1     1     1  
  1     2     1  

= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2
пирамида построенная на векторах
Пример 2.
Найти объем пирамиды построенной на векторах a = {1; 2; 3}, b = {1; -1; 1}, c = {2; 0; -1}.

Решение: Найдем смешанное произведение этих векторов:

a · [b × с] =    1     2     3    =
  1     -1     1  
  2     0     -1  

= 1·(-1)·(-1) + 2·1·2 + 3·1·0 - 3·(-1)·2 - 2·1·(-1) - 1·1·0 =

= 1 + 4 + 0 + 6 + 2 - 0 = 13

Найдем объем пирамиды воспользовавшись свойствами:

Vпир1|a · [b × c]| = 13 = 21
666

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0