OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"
Регистрация Войти Выйти

Таблица интегралов

Интегрирование — одна из основных математических операций. Знание таблицы известных первообразных и правил интегрирования будут полезным при решении задач. На этой странице в таблицах собраны примеры наиболее часто встречающихся интегралов.

Как произвольная константа интегрирования используется число C, которое можно определить, если известно значение интеграла в какой-нибудь точке. Каждая функция имеет бесконечное число первообразных.

Основные формулы Общие правила интегрирования функций Интегралы от рациональных функций Интегралы от трансцендентных функции Интегралы от иррациональных функции Интегралы от тригонометрических функций
Онлайн калькулятор: Решение интегралов

Основные формулы

1.  
∫ 0·dx = C
2.  
∫ a dx = ax + C      (a = const)
3.  
∫ xn dx = xn+1n + 1 + C      (n ≠ -1)
4.  
∫ dxx = ln |x| + C
5.  
∫ ax dx = axln a + C
6.  
∫ ex dx = ex + C
7.  
∫ sin x dx = -cos x + C
8.  
∫ cos x dx = sin x + C
9.  
∫ dxsin2 x = -ctg x + C
10.  
∫ dxcos2 x = tg x + C
11.  
∫ dxa2 - x2 = arcsin xa + C = -arccos xa + C      (x < a)
12.  
∫ dxa2 + x2 = 1a arctg xa + C = -1a arcctg xa + C
13.  
∫ dxa2 - x2 = 12a ln x + ax - a + C      (|x| ≠ a) - "Высокий логарифм"
14.  
∫ dxx2 ± a2 = ln |x + x2 ± a2|
Скачать таблицу интегралов Pdf

Общие правила интегрирования функций

∫ c f(x) dx = c ∫ f(x) dx
∫ [ f(x) + g(x)] dx =  ∫ f(x) dx +  ∫ g(x) dx
∫ [ f(x) - g(x)] dx =  ∫ f(x) dx -  ∫ g(x) dx
∫ f(x)g(x) dx = f(x) ∫ g(x) dx -  ∫∫ g(x) dx df(x)

Интегралы от рациональных функций

1.  
∫ xn dx = xn+1n + 1 + C      (n ≠ -1)
2.  
∫ (ax + b)n dx = (ax + b)n+1a(n + 1) + C      (n ≠ -1)
3.  
∫ dxx = ln |x| + C
4.  
∫ dxax + b = 1a ln |ax + b| + C
5.  
∫ ax + bcx + d dx = acx + bc - adc2 ln |cx + d| + C
6.  
∫ dx(x + a)(x + b) = 1a - b ln |x + bx + a| + C
7.  
∫ dxx2 - a2 = 12a ln |x - ax + a| + C
8.  
∫ x dx(x + a)(x + b) = 1a - b (a ln |x + a| - b ln|x + b|) + C
9.  
∫ x dxx2 - a2 = 12 ln |x2 - a2| + C
10.  
∫ dxx2 + a2 = 1a arctg (xa) + C
11.  
∫ x dxx2 + a2 = 12 ln |x2 + a2| + C
12.  
∫ dx(x2 + a2)2 = 12a2 xx2 + a2 + 12a3 arctg (xa) + C
13.  
∫ x dx(x2 + a2)2 = -12 1x2 + a2 + C
14.  
∫ x dx(x2 + a2)3 = -14 1(x2 + a2)2 + C
15.  
∫ dxax2 + bx + c = 1b2 - 4ac ln2ax + b - b2 - 4ac2ax + b + b2 - 4ac + C     (b2 - 4ac > 0)
16.  
∫ dxax2 + bx + c = 14ac - b2 arctg2ax + b4ac - b2 + C     (b2 - 4ac < 0)
17.  
∫ x dxax2 + bx + c = 12a ln|ax2 + bx + c| - b2a∫ dxax2 + bx + c
18.  
∫ x dxax + b = 1a2(ax + b - b ln |ax + b|) + C
19.  
∫ x2 dxax + b = 1a3(12(ax + b)2 -2b(ax + b) + b2 ln |ax + b|) + C
20.  
∫ dxx(ax + b) = 1b ln ax + bx + C
21.  
∫ dxx2(ax + b) = - 1bx + ab2 ln ax + bx + C
22.  
∫ x dx(ax + b)2 = 1a2(ln |ax + b | + bax + b) + C
23.  
∫ x2 dx(ax + b)2 = 1a3(ax + b - 2b ln |ax + b | - b2ax + b) + C

Интегралы от трансцендентных функций

1.  
∫ ex dx = ex + C
2.  
∫ ax dx = axln a + C
3.  
∫ dxx ln x = ln |ln x| + C
4.  
∫ xn ln x dx = xn + 1(ln xn + 1 - 1(n + 1)2) + C
5.  
∫ eax ln x dx = eax ln xa - 1a∫eaxx dx
6.  
∫ xn lnm x dx = xn + 1n + 1 lnm x - mn + 1∫xn lnm - 1 x dx
7.  
∫ xnlnm x dx = -xn + 1(m - 1) lnm - 1 x + n + 1m - 1∫xnlnm - 1 x dx
8.  
∫ ln x dx = x ln x - x + C
9.  
∫ arcsin x dx = x arcsin x + 1 - x2 + C
10.  
∫ arctg x dx = x arctg x - ln 1 + x2 + C
11.  
∫ eax dx = eaxa + C
12.  
∫ x eax dx = eaxa2(ax - 1) + C
13.  
∫ axxn dx = ax(n - 1)xn - 1 + ln an - 1∫axxn - 1
14.  
∫ sh(x) dx = ch(x) + C
15.  
∫ ch(x) dx = sh(x) + C

Интегралы от иррациональных функций

1.  
∫ dxax + b = 2aax + b + C
2.  
∫ ax + b dx = 23a(ax + b)1.5 + C
3.  
∫ x dxax + b = 2(ax - 2b)3a2ax + b + C
4.  
∫ xax + b dx = 2(3ax - 2b)15a2(ax + b)1.5 + C
5.  
∫ dx(x + c)ax + b = 1b - ac lnax + b - b - acax + b + b - ac + C     (b - ac > 0)
6.  
∫ dx(x + c)ax + b = 1ac - b arctgax + bac - b + C     (b - ac < 0)
7.  
∫ ax + bcx + d dx = 1c (ax + b)(cx + d) - ad - bccac arctg a(cx + d)c(ax + b) + C
8.  
∫ dxxax + b = 1b lnax + b - bax + b + b + C     (b > 0)
9.  
∫ dxxax + b = 1-b arctgax + b-b + C     (b < 0)
10.  
∫ dxx2ax + b = -ax + bbx - a2b∫ dxxax + b
11.  
∫ ax + bx dx = 2ax + b + b∫ dxxax + b
12.  
∫ a - xb + x dx = (a - x)(b + x) + (a + b)arcsinx + ba - x + C
13.  
∫ a + xb - x dx = -(a + x)(b - x) - (a + b)arcsinb - xa + x + C
14.  
∫ dxax2 + bx + c = 1a ln|2ax + b + a(ax2 + bx + c)| + C
15.  
∫ dxax2 + bx + c = -1a arcsin2ax + bb2 - 4ac + C
16.  
∫ ax2 + bx + c dx = 2ax + b4aax2 + bx + c + 4ac - b28a∫ dxax2 + bx + c
17.  
∫ x2 + a2 dx = x2x2 + a2 + a22 ln |x + x2 + a2| + C
18.  
∫ x2 - a2 dx = x2x2 - a2 - a22 ln |x + x2 - a2| + C
19.  
∫ dxx2 + a2 = ln|x + x2 + a2)| + C
20.  
∫ dxx2 - a2 = ln|x + x2 - a2)| + C
21.  
∫ x dxx2 + a2 = x2 + a2 + C
22.  
∫ x2 - a2x dx = x2 - a2 + a arcsin (xa) + C
23.  
∫ a2 - x2 dx = x2a2 - x2 + a22 arcsin (xa) + C
24.  
∫ a2 - x2x dx = a2 - x2 + a ln (xa + a2 - x2) + C
25.  
∫ dxa2 - x2 = arcsin (xa) + C
26.  
∫ x dxa2 - x2 = -a2 - x2 + C
27.  
∫ dxxa2 - x2 = 1a ln |xa + a2 - x2| + C

Интегралы от тригонометрических функций

1.  
∫ sin (x) dx = -cos (x) + C
2.  
∫ cos (x) dx = sin (x) + C
3.  
∫ sin2 (x) dx = x2 - 14 sin (2x) + C
4.  
∫ cos2 (x) dx = x2 + 14 sin (2x) + C
5.  
∫ sinn (x) dx = -1n sinn - 1 (x) cos (x) + n - 1n∫ sinn - 2 (x) dx
6.  
∫ cosn (x) dx = 1n cosn - 1 (x) sin (x) + n - 1n∫ cosn - 2 (x) dx
7.  
∫ dxsin (x) = ln|tg(x2)| + C
8.  
∫ dxcos (x) = ln|ctg(x2)| + C
9.  
∫ dxsin2 (x) = -ctg (x) + C
10.  
∫ dxcos2 (x) = tg (x) + C
11.  
∫ sin (x) cos (x) dx = -14cos (2x) + C
12.  
∫ sin2 (x) cos (x) dx = 13sin3 (x) + C
13.  
∫ sin (x) cos2 (x) dx = -13cos3 (x) + C
14.  
∫ sin2 (x) cos2 (x) dx = -18x - 132sin (4x) + C
15.  
∫ tg (x) dx = -ln |cos (x)| + C
16.  
∫ ctg (x) dx = ln |sin (x)| + C
17.  
∫ sin (x)cos2 (x) dx = 1cos (x) + C
18.  
∫ cos (x)sin2 (x) dx = -1sin (x) + C
19.  
∫ sin2 (x)cos2 (x) dx = tg (x) - x + C
20.  
∫ cos2 (x)sin2 (x) dx = -ctg (x) - x + C
21.  
∫ sin2 (x)cos (x) dx = ln|ctg(x2)| - sin (x) + C
22.  
∫ cos2 (x)sin (x) dx = ln|tg(x2)| + cos (x) + C
23.  
∫ dxsin (x) cos (x) = ln|tg(x)| + C
24.  
∫ dxsin2 (x) cos (x) = -1sin (x) + ln|ctg(x2)| + C
25.  
∫ dxsin (x) cos2 (x) = 1cos (x) + ln|tg(x2)| + C
26.  
∫ dxsin2 (x) cos2 (x) = tg(x) - ctg(x) + C
27.  
∫ dxsinn (x) = -1n - 1cos (x)sinn - 1 (x) + n - 2n - 1∫ dxsinn - 2 (x)
28.  
∫ tgn (x) dx = tgn - 1 (x)n - 1 - ∫ tgn - 2 (x) dx
29.  
∫ ctgn (x) dx = -ctgn - 1 (x)n - 1 - ∫ ctgn - 2 (x) dx
30.  
∫ sin (x) cosn (x) dx = -cosn + 1 (x)n + 1 + C
31.  
∫ cos (x) sinn (x) dx = sinn + 1 (x)n + 1 + C
Формулы сокращенного умножения (a ± b)2 Формулы и свойства степеней an Формулы и свойства корней n√a Формулы и свойства логарифмов loga b Формулы и свойства арифметической прогрессии an Формулы и свойства геометрической прогрессии bn Тригонометрические формулы sin x cos x Обратные тригонометрические формулы arcsin x Таблица производных ddx Таблица интегралов ∫x dx
Всі таблиці та формули
  Попробуйте онлайн калькуляторы из темы пределы и производные функцийРешение пределов онлайнРешение производных онлайнПоказать все онлайн калькуляторы

  Попробуйте онлайн калькуляторы для вычисления интеграловРешение интегралов онлайнРешение определенных интегралов онлайнПоказать все онлайн калькуляторы

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0
Присоединяйтесь