Параллелограмм. Формулы, признаки и свойства параллелограмма

Навигация по странице: Определение параллелограмма Признаки параллелограмма Основные свойства параллелограмма Стороны параллелограмма Диагонали параллелограмма Периметр параллелограмма Площадь параллелограмма

Определение.

Параллелограмм - это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых).

Параллелограммы отличаются между собой как размером прилегающих сторон, так и углами, однако противоположные углы одинаковые.


Рис.1		Рис.2

Признаки параллелограмма

Четырехугольник ABCD будет параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Четырехугольник имеет две пары параллельных сторон:

AB||CD, BC||AD

2. Четырехугольник имеет пару параллельных и равных сторон:

AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)

3. В четырехугольнике противоположные стороны попарно равны:

AB = CD, BC = AD

4. В четырехугольнике противоположные углы попарно равны:

∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA

5. В четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам:

AO = OC, BO = OD

6. Сумма углов четырехугольника прилегающих к любой стороне равна 180°:

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠ABC = 180°

7. В четырехугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон:

AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD²

Основные свойства параллелограмма

Квадрат, прямоугольник и ромб - есть параллелограммом.

1. Противоположные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину:

AB = CD, BC = AD

2. Противоположные стороны параллелограмма параллельны:

AB||CD, BC||AD

3. Противоположные углы параллелограмма одинаковые:

∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB

4. Сумма углов параллелограмма равна 360°:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

5. Сумма углов параллелограмма прилегающих к любой стороне равна 180°:

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠ABC = 180°

6. Каждая диагональ делит параллелограмма на два равных треугольника

7. Две диагонали делят параллелограмм на две пары равных треугольников

8. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:

AO = CO =	d₁
	2
BO = DO =	d₂
	2

9. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии параллелограмма

10. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

AC² + BD² = 2AB² + 2BC²

11. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны

12. Биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом (90°)

Стороны параллелограмма

Формулы определения длин сторон параллелограмма:

1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:

a = √d₁² + d₂² - 2d₁d₂·cosγ 2 = √d₁² + d₂² + 2d₁d₂·cosδ 2

b = √d₁² + d₂² + 2d₁d₂·cosγ 2 = √d₁² + d₂² - 2d₁d₂·cosδ 2

2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:

a =	√2d₁² + 2d₂² - 4b²
	2

b =	√2d₁² + 2d₂² - 4a²
	2

3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:

a =	h_b
	sin α

b =	h_a
	sin α

4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:

a =	S
	h_a

b =	S
	h_b

Диагонали параллелограмма

Определение.

Диагональю параллелограмма называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов параллелограмма.

Параллелограмм имеет две диагонали - длинную d₁, и короткую - d₂

Формулы определения длины диагонали параллелограмма:

1. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла β (по теореме косинусов)

d₁ = √a² + b² - 2ab·cosβ

d₂ = √a² + b² + 2ab·cosβ

2. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла α (по теореме косинусов)

d₁ = √a² + b² + 2ab·cosα

d₂ = √a² + b² - 2ab·cosα

3. Формула диагонали параллелограмма через две стороны и известную другую диагональ:

d₁ = √2a² + 2b² - d₂²

d₂ = √2a² + 2b² - d₁²

4. Формула диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями:

d₁ =	2S	=	2S
	d₂·sinγ		d₂·sinδ

d₂ =	2S	=	2S
	d₁·sinγ		d₁·sinδ

Периметр параллелограмма

Определение.

Периметром параллелограмма называется сумма длин всех сторон параллелограмма.

Формулы определения длины периметра параллелограмма:

1. Формула периметра параллелограмма через стороны параллелограмма:

P = 2a + 2b = 2(a + b)

2. Формула периметра параллелограмма через одну сторону и две диагонали:

P = 2a + √2d₁² + 2d₂² - 4a²

P = 2b + √2d₁² + 2d₂² - 4b²

3. Формула периметра параллелограмма через одну сторону, высоту и синус угла:

P =	2(b +	h_b	)
		sin α

P =	2(a +	h_a	)
		sin α

Площадь параллелограмма

Определение.

Площадью параллелограмма называется пространство ограниченный сторонами параллелограмма, т.е. в пределах периметра параллелограмма.

Формулы определения площади параллелограмма:

1. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту, проведенную к этой стороне:

S = a · h_a
S = b · h_b

2. Формула площади параллелограмма через две стороны и синус угла между ними:

S = ab sinα

S = ab sinβ

3. Формула площади параллелограмма через две диагонали и синус угла между ними:

S =	1	d₁d₂ sin γ
	2

S =	1	d₁d₂ sin δ
	2

Формулы по геометрии Треугольник. Формулы и свойства треугольника

Квадрат. Формулы и свойства квадрата

Прямоугольник. Формулы и свойства прямоугольника

Параллелограмм. Формулы и свойства параллелограмма

Ромб. Формулы и свойства ромба

Трапеция. Формулы и свойства трапеции

- Равнобедренная трапеция. Формулы и свойства равнобедренной трапеции

- Прямоугольная трапеция. Формулы и свойства прямоугольной трапеции

Правильный многоугольник. Формулы и свойства правильного многоугольника

Окружность, круг, сегмент, сектор. Формулы и свойства

Эллипс. Формулы и свойства эллипса

Куб. Формулы и свойства куба

Прямоугольный параллелепипед. Формулы и свойства прямоугольного параллелепипеда Призма. Формулы и свойства призмы

Пирамида. Формулы и свойства пирамиды

Сфера, шар, сегмент и сектор. Формулы и свойства

Цилиндр. Формулы и свойства

Конус. Формулы и свойства

Формулы площади геометрических фигур S Формулы периметра геометрических фигур P Формулы объема геометрических фигур V Формулы площади поверхности геометрических фигур S

Все таблицы и формулы

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!