Квадратное уравнение

— это уравнение вида a x² + b x + c = 0, где a не равно 0.

Геометрический смысл
Вывод формулы для решения квадратного уравнения
Дискриминант квадратного уравнения
Теорема Виета
Разложение квадратного уравнения на множители
Примеры решения квадратных уравнений

Геометрический смысл

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют точки пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня.

Если коэффициент a положительный, ветви параболы направлены вверх, если отрицательный — ветви параболы направлены вниз. Если коэффициент b положительный, то вершина параболы лежит в левой полуплоскости, если отрицательный — в правой полуплоскости.

Вывод формулы для решения квадратного уравнения

Формулу для решения квадратного уравнения a x² + b x + c = 0 можно получить так:

перенесем c в правую часть a x² + b x = - c
умножим уравнение на 4a (2a x)² + 4a b x = - 4a c
добавим b² к обоим частям (2a x)² + 4a b x + b² = b² - 4a c
в левой части выделим полный квадрат (2a x + b)² = b² - 4a c
извлечем квадратный корень 2a x + b = ± √b² - 4a c
перенесем b в правую часть 2a x = - b ± √b² - 4a c
разделим уравнение на 2a

x = -b ± √b² - 4a c
2 a

Дискриминант квадратного уравнения

Дискриминантом

квадратного уравнения называют число равное D = b² − 4ac

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта:

при D > 0 корней два, и они вычисляются по формуле
x_1,2 = -b ± √D
2 a
при D = 0 корень один (два равных или совпадающих корня), кратности 2:
x = -b
2 a
при D < 0 вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся формулой
x_1,2 = -b ± i√-D
2 a

Теорема Виета

Приведенным квадратным уравнением

называется уравнение, в котором коэффициент при x² равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на коэффициент a: x² + px + q = 0, где p = ba, q = ca

Сумма корней приведённого квадратного уравнения

x² + px + q = 0 равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q:
x₁ + x₂ = -p, x₁x₂ = q.

Разложение квадратного уравнения на множители

Если известны оба корня квадратного уравнения, его можно разложить по формуле

ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂)

Примеры решения квадратных уравнений

Например. Найти корни квадратного уравнения: 2x² + 5x + 3 = 0
D = 5² - 4·3·2 = 25 - 24 = 1

x₁ =	-5 + √1	= -1,
	2·2

x₂ =	-5 - √1	= -1	1
	2·2		2

Упражнения. Квадратные уравнения.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

x =	-b ± √b² - 4a c
	2 a

x_1,2 =	-b ± √D
	2 a

x_1,2 =	-b ± i√-D
	2 a