Смешанное произведение векторов.
Навигация по странице:
Определение. Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c.
Формулы вычисления смешанного произведения векторов
Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, составленной из этих векторов.
Смешанное произведение векторов a = {ax; ay; az}, b = {bx; by; bz} и c = {cx; cy; cz} в декартовой системе координат можно вычислить, используя следующую формулу:
| a · [b × c] = | ax | ay | az |
| bx | by | bz | |
| cx | cy | cz |
Свойства смешанного произведения векторов
- Геометрический смысл смешанного произведения.Модуль смешанного произведения трех векторов a, b и с равен объёму параллелепипеда, образованного этими векторами:Vпарал = |a · [b × c]|
- Геометрический смысл смешанного произведения.Объем пирамиды образованной тремя векторами a, b и с равен одной шестой части от модуля смешанного произведения этих векторов:
Vпир = 1 |a · [b × c]| 6 - Если смешанного произведения трех не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора компланарные.
- a · [b × c] = b · (a · c) - c · (a · b)
- a · [b × c] = b · [c × a] = c · [a × b] = -a · [c × b] = -b · [a × c] = -c · [b × a]
- a · [b × c] + b · [c × a] + c · [a × b] = 0 - тождество Якоби.
Примеры задач на вычисления смешанного произведения векторов
Пример 1. Найти смешанное произведение векторов a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.
= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2
Решение:
| a · [b × с] = | 1 | 2 | 3 | = |
| 1 | 1 | 1 | ||
| 1 | 2 | 1 |
= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2
Пример 2.
Найти объем пирамиды построенной на векторах a = {1; 2; 3}, b = {1; -1; 1}, c = {2; 0; -1}.
Решение: Найдем смешанное произведение этих векторов:
| a · [b × с] = | 1 | 2 | 3 | = |
| 1 | -1 | 1 | ||
| 2 | 0 | -1 |
= 1·(-1)·(-1) + 2·1·2 + 3·1·0 - 3·(-1)·2 - 2·1·(-1) - 1·1·0 =
= 1 + 4 + 0 + 6 + 2 - 0 = 13
Найдем объем пирамиды воспользовавшись свойствами:
| Vпир = | 1 | |a · [b × c]| = | 13 | = 2 | 1 |
| 6 | 6 | 6 |
Вектора
Вектор: определение и основные понятия
Определение координат вектора заданного координатами его начальной и конечной точки
Модуль вектора. Длина вектора
Направляющие косинусы вектора
Равенство векторов
Ортогональность векторов
Коллинеарность векторов
Компланарность векторов
Угол между векторами
Проекция вектора
Сложение и вычитание векторов
Умножение вектора на число
Скалярное произведение векторов
Векторное произведение векторов
Смешанное произведение векторов
Линейно зависимые и линейно независимые вектора
Разложение вектора по базису
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!