OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"

Уравнение прямой

Прямая проходящая через две точки
Прямая (прямая линия) - это бесконечная линия, по которой проходит кратчайший путь между любыми двумя её точками.

Уравнение прямой на плоскости

Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида

A x + B y + C = 0

где A и B не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду

y = k x + b

где k - угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ.

k = tg φ

Уравнение прямой в отрезках на осях

Уравнение прямой в отрезках на осях

Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами (a, 0) и (0, b), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках

x  +  y  = 1
a b

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости

Если прямая проходит через две точки M(x1, y1) и N(x2, y2), такие что x1x2 и y1y2, то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу

x - x1  =  y - y1
x2 - x1 y2 - y1
Параметрическое уравнение прямой на плоскости

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

x = l t + x0y = m t + y0

где N(x0, y0) - координаты точки лежащей на прямой, a = {l, m} - координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Если известны координаты точки N(x0, y0) лежащей на прямой и направляющего вектора a = {l; m} (l и m не равны нулю), то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

x - x0  =  y - y0
l m
Пример 1. Найти уравнение прямой проходящей через две точки M(1, 7) и N(2, 3).

Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки

x - 12 - 1 = y - 73 - 7

Упростив это уравнение получим каноническое уравнение прямой

x - 11 = y - 7-4

Выразим y через x и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

y - 7 = -4(x - 1)

y = -4x + 11

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN.

MN = {2 - 1; 3 - 7} = {1; -4}

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

x = t + 1y = -4t + 7

Пример 2. Найти уравнение прямой проходящей через две точки M(1, 3) и N(2, 3).

Решение. Так как My - Ny = 0, то невозможно записать уравнение прямой проходящей через две точки.

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN.

MN = {2 - 1; 3 - 3} = {1; 0}

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

x = t + 1y = 3


Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Если прямая проходит через две точки M(x1, y1, z1) и N(x2, y2, z2), такие что x1x2, y1y2 и z1z2, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу

x - x1  =  y - y1  =  z - z1
x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

x = l t + x0
y = m t + y0
z = n t + z0

где (x0, y0, z0) - координаты точки лежащей на прямой, {l; m; n} - координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки M(x0, y0, z0) лежащей на прямой и направляющего вектора n = {l; m; n}, то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

x - x0  =  y - y0  =  z - z0
l m n

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений

A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0

при условии, что не имеет место равенство

A1  =  B1  =  C1 .
A2 B2 C2

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0