OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"

Расстояние между двумя точками

Определение. Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, что соединяет эти точки.

Формулы вычисления расстояния между двумя точками:

  • Формула вычисления расстояния между двумя точками A(xaya) и B(xbyb) на плоскости:
    AB = √(xb - xa)2 + (yb - ya)2
  • Формула вычисления расстояния между двумя точками A(xayaza) и B(xbybzb) в пространстве:
    AB = √(xb - xa)2 + (yb - ya)2 + (zb - za)2

Вывод формулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости

Расстояние между двумя точками на плоскости

Из точек A и B опустим перпендикуляры на оси координат.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABC. Катеты этого треугольника равны:

AC = xb - xa;
BC = yb - ya.

Воспользовавшись теоремой Пифагора, вычислим длину отрезка AB:

AB = √AC2 + BC2.

Подставив в это выражение длины отрезков AC и BC, выраженные через координаты точек A и B, получим формулу для вычисления расстояния между точками на плоскости.

Формула для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве выводится аналогично.


Примеры задач на вычисление расстояния между двумя точками

Примеры вычисления расстояния между двумя точками на плоскости

Пример 1.
Найти расстояние между точками A(-1, 3) и B(6,2).

Решение.

AB = √(xb - xa)2 + (yb - ya)2 = (6 - (-1))2 + (2 - 3)2 = 72 + 12 = √50 = 5√2

Ответ: AB = 5√2.

Пример 2.
Найти расстояние между точками A(0, 1) и B(2,-2).

Решение.

AB = √(xb - xa)2 + (yb - ya)2 = (2 - 0)2 + (-2 - 1)2 = 22 + (-3)2 = √13

Ответ: AB = √13.


Примеры вычисления расстояния между двумя точками в пространстве

Пример 3.
Найти расстояние между точками A(-1, 3, 3) и B(6, 2, -2).

Решение.

AB = √(xb - xa)2 + (yb - ya)2 + (zb - za)2 =

= √(6 - (-1))2 + (2 - 3)2 + (-2 - 3)2 = 72 + 12 + 52 = √75 = 5√3

Ответ: AB = 5√3.

Пример 4.
Найти расстояние между точками A(0, -3, 3) и B(3, 1, 3).

Решение.

AB = √(xb - xa)2 + (yb - ya)2 + (zb - za)2 =

= √(3 - 0)2 + (1 - (-3))2 + (3 - 3)2 = 32 + 42 + 02 = √25 = 5

Ответ: AB = 5.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0