Угол между прямыми

y = k₁x + b₁,
y = k₂x + b₂,

то угол между ними можно найти, используя формулу:

Если знаменатель равен нулю (1 + k₁·k₂ = 0), то прямые перпендикулярны.

tg α = k₁
tg β = k₂

Соответственно легко найти угол между прямыми

γ = α - β

tg γ = tg (α - β) = tg α - tg β1 + tg α ·tg β = k₁ - k₂1 + k₁·k₂

Если уравнение прямой задано параметрически

то вектор направляющей имеет вид {l; m}

Если уравнение прямой задано как

A x + B y + C = 0

то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой.
Например, если C ≠ 0, A ≠ 0, C ≠ 0 , при x = 0 => y = -CB значит точка на прямой имеет координаты K(0, -CB), при y = 0 => x = -CA значит точка на прямой имеет координаты M(-CA, 0). Вектор направляющей KM = {-CA; CB}.

Если дано каноническое уравнение прямой

x - x₀ l = y - y₀m

то вектор направляющей имеет вид {l; m}

Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом

y = kx + b

то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой, например, при x = 0 => y = b значит точка на прямой имеет координаты K(0, b), при x = 1 => y = k + b значит точка на прямой имеет координаты M(1, k + b). Вектор направляющей KM = {1; k}

Если уравнение прямой задано как

A x + B y + C = 0

то вектор нормали имеет вид {A; B}

Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом

y = kx + b

то вектор нормали имеет вид {1; -k}

Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом:

Ответ. γ = 45°

Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми у которых известны направляющие векторы.

Для первой прямой направляющий вектор {1; 2}, для второй прямой направляющий вектор {2; 1}

Ответ. φ ≈ 36.87°

Решение: Для решения этой задачи можно найти направляющие векторы и вычислить угол через направляющие векторы или преобразовать уравнения в уравнения с угловым коэффициентом и вычислить угол через угловые коэффициенты.

Преобразуем имеющиеся уравнения в уравнения с угловым коэффициентом.

2x + 3y = 0 => y = -23x   (k₁ = -23)

x - 23 = y4 => y = 43x - 83   (k₂ = 43)

Ответ. γ ≈ 86.82°

Если дано каноническое уравнение прямой

x - x₀ l = y - y₀m = z - z₀n

то направляющий вектор имеет вид {l; m; n}

Если уравнение прямой задано параметрически

то направляющий вектор имеет вид {l; m; n}

Решение: Так как прямые заданы параметрически, то {2; 1; -1} - направляющий вектор первой прямой, {1; -2; 0} направляющий вектор второй прямой.

Ответ. φ = 90°

Решение: Для решения этой задачи найдем направляющие векторы этих прямых.

Уравнение первой прямой задано в канонической форме, поэтому направляющий вектор {3; 4; 5}.

Преобразуем второе уравнение к каноническому вид.

-x - 22 = x - 2-2

1 - 3y = 1 + y-1/3 = y - 1/3-1/3

3z - 52 = z - 5/32/3

Получено уравнение второй прямой в канонической форме

x - 2-2 = y - 1/3-1/3 = z - 5/32/3

{-2; -13; 23} - направляющий вектор второй прямой.

Ответ. φ ≈ 74.63°