Угол между прямой и плоскостью
Формула вычисления угла между прямой и плоскостью
Если в пространстве заданы направляющий вектор прямой L
s = {l; m; n}
и уравнение плоскости
Ax + By + Cz + D = 0,
то угол между этой прямой и плоскостью можно найти используя формулу
| sin φ = | | A · l + B · m + C · n | |
| √A2 + B2 + C2 · √l2 + m2 + n2 |
Вывод формулы для вычисления угла между прямой и плоскостью
Из уравнения прямой можно найти направляющий вектор прямой
s = {l; m; n}
Из уравнения плоскости вектор нормали плоскости имеет вид
q = {A; B; C}
Из формул скалярного произведения векторов найдем косинус угла между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой
| cos ψ = | | q · s | |
| | s | · |q | |
Так как φ = 90° - ψ, то синус угла между прямой и плоскостью sin φ = cos ψ.
Расписав скалярное произведение векторов и модуль векторов через их координаты, получим формулу для вычисления угла между прямой и плоскостью.
Пример вычисления угла между прямой и плоскостью
Пример 1. Найти угол между прямой
x - 4
=
y + 2
= -
z - 6
2
6
3
и плоскостью x - 2y + 3z + 4 = 0.
Решение.
Из уравнения прямой найдем направляющий вектор прямой
s = {2; 6; -3}
Из уравнения плоскости найдем вектор нормали плоскости
q = {1; -2; 3}
Воспользовавшись формулой, найдем угол между прямой и плоскостью
sin φ =
| 2 · 1 + 6 · (-2) + (-3) · 3 |
=
√22 + 62 + (-3)2 · √12 + (-2)2 + 32
= | 2 - 12 - 9 | √4 + 36 + 9 · √1 + 4 + 9 |-19| √49 · √14 19 7√14 Ответ: sin φ = 19 7√14
| x - 4 | = | y + 2 | = - | z - 6 |
| 2 | 6 | 3 |
Решение.
Из уравнения прямой найдем направляющий вектор прямой
s = {2; 6; -3}Из уравнения плоскости найдем вектор нормали плоскости
q = {1; -2; 3}Воспользовавшись формулой, найдем угол между прямой и плоскостью
| sin φ = | | 2 · 1 + 6 · (-2) + (-3) · 3 | | = |
| √22 + 62 + (-3)2 · √12 + (-2)2 + 32 |
Ответ: sin φ =
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!