Элементарные преобразования матрицы.
Навигация по странице:
Определение.
Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц, то есть, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.
Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.
Элементарными преобразованиями строк называют:
- перестановку местами любых двух строк матрицы;
- умножение на ненулевую константу любой строки матрицы;
- прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на ненулевое число.
Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.
Определение.
Матрицы A и B называют эквивалентными матрицами если от матрицы A к матрице B перешли с помощью элементарных преобразований над строками и обозначают A ~ B.Примеры на элементарные преобразования матрицы
Пример 1.
Используя элементарные преобразования строк преобразовать матрицу A в верхнюю треугольную матрицу, где
| A = |  |
4 | 2 | 0 |  |
| 1 | 3 | 2 | |||
| -1 | 3 | 10 |
Решение:
поменяем первую и вторую строку местами
|
4 | 2 | 0 | |
~ | |
1 | 3 | 2 | |
~ |
| 1 | 3 | 2 | 4 | 2 | 0 | ||||||
| -1 | 3 | 10 | -1 | 3 | 10 |
ко 2-рой строке прибавим 1-вую, умноженную на -4; к третей строке прибавим первую
| ~ | |
1 | 3 | 2 | |
~ | |
1 | 3 | 2 | |
~ |
| 4 + (-4)·1 | 2 + (-4)·3 | 0 + (-4)·2 | 0 | -10 | -8 | |||||||
| -1 + 1 | 3 + 3 | 10 + 2 | 0 | 6 | 12 |
2-рую строку поделим на -2, третью строку делим на 6
| ~ | |
1 | 3 | 2 | |
~ | |
1 | 3 | 2 | |
~ |
| 0 | -10/(-2) | -8/(-2) | 0 | 5 | 4 | |||||||
| 0 | 6/6 | 12/6 | 0 | 1 | 2 |
поменяем вторую и третью строку местами
| ~ | |
1 | 3 | 2 | |
~ |
| 0 | 1 | 2 | ||||
| 0 | 5 | 4 |
к 3-тей строке прибавим 2-рую, умноженную на -5
| ~ | |
1 | 3 | 2 | |
~ | |
1 | 3 | 2 | |
| 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | ||||||
| 0 | 5 + (-5)·1 | 4 + (-5)·2 | 0 | 0 | -6 |
Матрицы. вступление и оглавлениеМатрицы: определение и основные понятия.Сведение системы линейных уравнений к матрице.Виды матрицУмножение матрицы на число.Сложение и вычитание матриц.Умножение матриц.Транспонирование матрицы.Элементарные преобразования матрицы.Определитель матрицы.Минор и алгебраическое дополнение матрицы.Обратная матрица.Линейно зависимые и независимые строки.Ранг матрицы.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!