Линейно зависимые и независимые строки.

• Линейная комбинация строк
• Тривиальная линейная комбинация строк
• Нетривиальная линейная комбинация строк
• Линейно зависимые строки
• Линейно независимые строки
• Примеры линейно зависимых и линейно независимых строк

Линейной комбинацией строк s₁, s₂, ..., s_l матрицы A называется выражение

α₁s₁ + α₂s₂ + ... + α_ls_l

Линейная комбинация строк называется тривиальной, если все коэффициенты α_i одновременно равны нулю.

Тривиальная линейная комбинация строк равна нулевой строке.

Линейная комбинация строк называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов α_i не равен нулю.

Система строк называется линейно зависимой (ЛЗ), если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевой строке.

Система строк называется линейно независимой (ЛНЗ), если только тривиальная линейная комбинация равна нулевой строке (не существует их нетривиальной линейной комбинации, равной нулевой строке).

Система строк квадратной матрицы линейно независима тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы не равен нулю.

Система строк квадратной матрицы линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю.

Показать, что система строк {s₁ = {2   5}; s₂ = {4   10}} является линейно зависимой.

Решение. Составим линейную комбинацию этих строк

α₁{2   5} + α₂{4   10}

Найдем при каких значениях α₁, α₂ эта линейная комбинация равна нулевой строке

α₁{2   5} + α₂{4   10} = {0   0}

Данное уравнение эквивалентно следующей системе уравнений:

	2α1 + 4α2 = 0
	5α1 + 10α2 = 0

Разделим первое уравнение на 2, а второе уравнение на 5:

	α1 + 2α2 = 0
	α1 + 2α2 = 0

Решением этой системы могут быть любые числа α₁ и α₂ такие что: α₁ = -2α₂, например, α₂ = 1, α₁ = -2, а это означает что строки s₁ и s₂ линейно зависимые.

Показать, что система строк {s₁ = {2   5   1}; s₂ = {4   10   0}} является линейно независимой.

Решение. Составим линейную комбинацию этих строк

α₁{2   5   1} + α₂{4   10   0}

Найдем при каких значениях α₁, α₂ эта линейная комбинация равна нулевой строке

α₁{2   5   1} + α₂{4   10   0} = {0   0   0}

Данное уравнение эквивалентно следующей системе уравнений:

	2α1 + 4α2 = 0
	5α1 + 10α2 = 0
	α1 + 0α2 = 0

Из 3-тего уравнения получаем α₁ = 0, подставим это значение в 1-ое и 2-ое уравнения:

2·0+4α₂=0 5·0+10α₂=0 α₁=0 => 4α₂=0 10α₂=0 α₁=0 => α₂ = 0 α₂ = 0 α₁ = 0

Так как линейная комбинация строк равна нулю только когда α₁ = 0 и α₂ = 0, то строки линейно независимые.