Ранг матрицы.
Навигация по странице:
Определение.
Рангом системы строк (столбцов) называется максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой системы.Теорема.
Ранг системы строк матрицы равен её рангу системы столбцов.Определение.
Рангом матрицы A называется ранг её системы строк или столбцов.Обычно ранг матрицы A обозначается rank(A) или rang(A)
Свойства матрицы связанные с рангом
- Ранг матрицы не изменится, если к ее строкам (столбцам) применить элементарные преобразования.
- Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк.
Методы вычисления ранга матрицы
Метод элементарных преобразований
Используя свойства матрицы связанные с ее рангом, получен метод расчета ранга наиболее часто использующийся на практике.
Метод 1.
Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду, используя элементарные преобразования над строками и столбцами матрицы.Метод окаймления миноров
Теорема.
Ранг матрицы равен наибольшему порядку не равного нулю минора.Метод 2.
Если в матрице A найден ненулевой минор k-го порядка M. Рассмотрим все миноры (k + 1)-го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор M; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. Если среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, то вся процедура повторяется.Пример.
Вычислить ранг матрицы A, где
| A = |  |
4 | 2 | 0 | 1 |  |
| 2 | 1 | 2 | 3 | |||
| 0 | 3 | 10 | 1 | |||
| 4 | 2 | 4 | 6 |
Решение:
От 1-ой строки отнимем 2-ую умноженную на 2, от 4-той отнимем 2-ую умноженную на 2
|
4 | 2 | 0 | 1 | |
~ | |
0 | 0 | -4 | -5 | |
~ |
| 2 | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | 2 | 3 | ||||||
| 0 | 3 | 10 | 1 | 0 | 3 | 10 | 1 | ||||||
| 4 | 2 | 4 | 6 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Поменяем местами строки
| ~ | |
2 | 1 | 2 | 3 | |
| 0 | 3 | 10 | 1 | |||
| 0 | 0 | -4 | -5 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 |
полученная матрица есть является ступенчатой, значит rank(A) = 3.
Ответ: rank(A) = 3.
Матрицы. вступление и оглавлениеМатрицы: определение и основные понятия.Сведение системы линейных уравнений к матрице.Виды матрицУмножение матрицы на число.Сложение и вычитание матриц.Умножение матриц.Транспонирование матрицы.Элементарные преобразования матрицы.Определитель матрицы.Минор и алгебраическое дополнение матрицы.Обратная матрица.Линейно зависимые и независимые строки.Ранг матрицы.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!