Расстояние от точки до прямой в пространстве.
Формула для вычисления расстояния от точки до прямой в пространстве
Если s = {m; n; p} - направляющий вектор прямой l, M1(x1, y1, z1) - точка лежащей на прямой, тогда расстояние от точки M0(x0, y0, z0) до прямой l можно найти, используя формулу
| d = | |M0M1×s| |
| |s| |
Вывод формулы вычисления расстояния от точки до прямой в пространстве
Если задано уравнение прямой l то несложно найти s = {m; n; p} - направляющий вектор прямой и M1(x1, y1, z1) - координаты точки лежащей на этой прямой. Из свойств векторного произведения известно, что модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма построенного на этих векторах
S = |M0M1×s|.
С другой стороны площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту проведенную к этой стороне
S = |s|d.
В нашем случае высота будет равна расстоянию от точки до плоскости d, а сторона параллелограмма равна модулю направляющего вектора s.
Приравняв площади несложно получить формулу расстояния от точки до прямой.
Примеры задач на вычисление расстояния от точки до прямой в пространстве
| x - 3 | = | y - 1 | = | z + 1 |
| 2 | 1 | 2 |
Решение.
Из уравнения прямой получим:
s = {2; 1; 2} - направляющий вектор прямой;
M1(3; 1; -1) - точка лежащая на прямой.
Тогда
M0M1 = {3 - 0; 1 - 2; -1 - 3} = {3; -1; -4}
| M0M1×s = | i | j | k | = |
| 3 | -1 | -4 | ||
| 2 | 1 | 2 |
= i ((-1)·2 - (-4)·1) - j (3·2 - (-4)·2) + k (3·1 -(-1)·2) = {2; -14; 5}
d =Ответ: расстояние от точки до прямой равно 5.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!