Эллипс. Формулы, признаки и свойства эллипсa

Навигация по странице: Определение эллипсa Элементы эллипсa Основные свойства эллипсa Уравнение эллипсa Радиус круга вписанного в эллипс Радиус круга описанного вокруг эллипса Площадь эллипсa Площадь сегмента эллипсa Приближённая формула периметра эллипсa Длина дуги эллипсa

Определение эллипсa

Определение.

Эллипс — это замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки которой до двух точек F₁ и F₂ равна постоянной величине. Точки F₁ и F₂ называют фокусами эллипса.

F₁M₁ + F₂M₁ = F₁M₂ + F₂M₂ = A₁A₂ = const


Рис.1		Рис.2

Элементы эллипсa

F₁ и F₂ - фокусы эллипсa

Оси эллипсa.

А₁А₂ = 2a - большая ось эллипса (проходит через фокусы эллипса)

B₁B₂ = 2b - малая ось эллипса (перпендикулярна большей оси эллипса и проходит через ее центр)

a - большая полуось эллипса

b - малая полуось эллипса

O - центр эллипса (точка пересечения большей и малой осей эллипса)

Вершины эллипсa A₁, A₂, B₁, B₂ - точки пересечения эллипсa с малой и большой осями эллипсa

Диаметр эллипсa - отрезок, соединяющий две точки эллипса и проходящий через его центр.

Фокальное расстояние c - половина длины отрезка, соединяющего фокусы эллипсa.

Эксцентриситет эллипсa e характеризует его растяженность и определяется отношением фокального расстояния c к большой полуоси a. Для эллипсa эксцентриситет всегда будет 0 < e < 1, для круга e = 0, для параболы e = 1, для гиперболы e > 1.

e =	c
	a

Фокальные радиусы эллипсa r₁, r₂ - расстояния от точки на эллипсе до фокусов.

Радиус эллипсa R - отрезок, соединяющий центр эллипсa О с точкой на эллипсе.

R =	ab	=	b
	√a²sin²φ + b²cos²φ		√1 - e²cos²φ

где e - эксцентриситет эллипсa, φ - угол между радиусом и большой осью A₁A₂.

Фокальный параметр эллипсa p - отрезок который выходит из фокуса эллипсa и перпендикулярный большой полуоси:

p =	b²
	a

Коэффициент сжатия эллипсa (эллиптичность) k - отношение длины малой полуоси к большой полуоси. Так как малая полуось эллипсa всегда меньше большей, то k < 1, для круга k = 1:

k =	b
	a

k = √1 - e²

где e - эксцентриситет.

Сжатие эллипсa (1 - k ) - величина, которая равная разности между единицей и эллиптичностью:

1 - k =	a - b
	a

Директрисы эллипсa - две прямые перпендикулярные фокальной оси эллипса, и пересекающие ее на расстоянии ae от центра эллипса. Расстояние от фокуса до директрисы равно pe.

Основные свойства эллипсa

1. Угол между касательной к эллипсу и фокальным радиусом r₁ равен углу между касательной и фокальным радиусом r₂ (Рис. 2, точка М₃).

2. Уравнение касательной к эллипсу в точке М с координатами (x_M, y_M):

1 =	xx_M	+	yy_M
	a²		b²

3. Если эллипс пересекается двумя параллельными прямыми, то отрезок, соединяющий середины отрезков образовавшихся при пересечении прямых и эллипса, всегда будет проходить через центр эллипсa. (Это свойство дает возможность построением с помощью циркуля и линейки получить центр эллипса.)

4. Эволютой эллипсa есть астероида, что растянута вдоль короткой оси.

5. Если вписать эллипс с фокусами F₁ и F₂ у треугольник ∆ ABC, то будет выполнятся следующее соотношение:

1 =	F₁A ∙ F₂A	+	F₁B ∙ F₂B	+	F₁C ∙ F₂C
	CA ∙ AB		AB ∙ BC		BC ∙ CA

Уравнение эллипсa

Каноническое уравнение эллипсa:

Уравнение описывает эллипс в декартовой системе координат. Если центр эллипсa О в начале системы координат, а большая ось лежит на абсциссе, то эллипсa описывается уравнением:

1 =	x²	+	y²
	a²		b²

Если центр эллипсa О смещен в точку с координатами (x_o, y_o), то уравнение:

1 =	(x - x_o)²	+	(y - y_o)²
	a²		b²

Параметрическое уравнение эллипсa:

{	x = a cos α	де 0 ≤ α < 2π
	y = b sin α

Радиус круга вписанного в эллипс

Круг, вписан в эллипс касается только двух вершин эллипсa B₁ и B₂. Соответственно, радиус вписанного круга r будет равен длине малой полуоси эллипсa OB₁:
r = b

Радиус круга описанного вокруг эллипсa

Круг, описан вокруг эллипсa касается только двух вершин эллипсa A₁ и A₂. Соответственно, радиус описанного круга R будет равен длине большой полуоси эллипсa OA₁:
R = a

Площадь эллипсa

Формула определение площади эллипсa:
S = πab

Площадь сегмента эллипсa

Формула площади сегмента, что находится по левую сторону от хорды с координатами (x, y) и (x, -y):

S =	πab	-	b	(	x	√	a² - x² + a² ∙ arcsin	x	)
	2		a					a

Периметр эллипсa

Найти точную формулу периметра эллипсa L очень тяжело. Ниже приведена формула приблизительной длины периметра. Максимальная погрешность этой формулы ~0,63 %: