Формулы сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения — часто встречающиеся случаи умножения многочленов, используются для разложения многочленов на множители, упрощения выражений, приведения многочленов к стандартному виду. Все они доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых.

Формулы для квадратов

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2	– квадрат суммы
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2	– квадрат разности
a2 – b2 = (a – b)(a + b)	– разность квадратов
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Формулы для кубов

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3	– куб суммы
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3	– куб разности
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)	– сумма кубов
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)	– разность кубов

Формулы для четвёртой степени

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4

a4 – b4 = (a – b)(a + b)(a2 + b2)

Формулы для n-той степени

(a + b)n = an + nan – 1b + n(n – 1)2an – 2b2 + ... + n!k!(n – k)!an – kbk + ... + bn

(a - b)n = an - nan – 1b + n(n – 1)2an – 2b2 + ... + (-1)kn!k!(n – k)!an – kbk + ... + (-1)nbn