OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"

Таблица интегралов

Интегрирование — одна из основных математических операций. Знание таблицы известных первообразных и правил интегрирования будут полезным при решении задач. На этой странице в таблицах собраны примеры наиболее часто встречающихся интегралов.

Как произвольная константа интегрирования используется число C, которое можно определить, если известно значение интеграла в какой-нибудь точке. Каждая функция имеет бесконечное число первообразных.

Основные формулы

1.  
dx = C
2.  
a dx = ax + C      (a = const)
3.  
xn dx = xn+1n + 1 + C      (n ≠ -1)
4.  
dxx = ln |x| + C
5.  
ax dx = axln a + C
6.  
ex dx = ex + C
7.  
sin x dx = -cos x + C
8.  
cos x dx = sin x + C
9.  
dxsin2 x = -ctg x + C
10.  
dxcos2 x = tg x + C
11.  
dxa2 - x2 = arcsin xa + C = -arccos xa + C      (x < a)
12.  
dxa2 + x2 = 1a arctg xa + C = -1a arcctg xa + C
13.  
dxx2 - a2 = 12a ln x + ax - a + C      (|x| ≠ a) - "Высокий логарифм"
14.  
dxx2 ± a2 = ln |x + x2 ± a2|
Скачать таблицу интегралов Pdf

Общие правила интегрирования функций

c f(x) dx = c f(x) dx
[ f(x) + g(x)] dx f(x) dx g(x) dx
[ f(x) - g(x)] dx f(x) dx g(x) dx
f(x)g(x) dx = f(x) g(x) dx ∫∫ g(x) dx df(x)

Интегралы от рациональных функций

1.  
xn dx = xn+1n + 1 + C      (n ≠ -1)
2.  
(ax + b)n dx = (ax + b)n+1a(n + 1) + C      (n ≠ -1)
3.  
dxx = ln |x| + C
4.  
dxax + b = 1a ln |ax + b| + C
5.  
ax + bcx + d dx = acx + bc - adc2 ln |cx + d| + C
6.  
dx(x + a)(x + b) = 1a - b ln |x + bx + a| + C
7.  
dxx2 - a2 = 12a ln |x - ax + a| + C
8.  
x dx(x + a)(x + b) = 1a - b (a ln |x + a| - b ln|x + b|) + C
9.  
x dxx2 - a2 = 12 ln |x2 - a2| + C
10.  
dxx2 + a2 = 1a arctg (xa) + C
11.  
x dxx2 + a2 = 12 ln |x2 + a2| + C
12.  
dx(x2 + a2)2 = 12a2 xx2 + a2 + 12a3 arctg (xa) + C
13.  
x dx(x2 + a2)2 = -12 1x2 + a2 + C
14.  
x dx(x2 + a2)3 = -14 1(x2 + a2)2 + C
15.  
dxax2 + bx + c = 1b2 - 4ac ln2ax + b - b2 - 4ac2ax + b + b2 - 4ac + C     (b2 - 4ac > 0)
16.  
dxax2 + bx + c = 14ac - b2 arctg2ax + b4ac - b2 + C     (b2 - 4ac < 0)
17.  
x dxax2 + bx + c = 12a ln|ax2 + bx + c| - b2a dxax2 + bx + c
18.  
x dxax + b = 1a2(ax + b - b ln |ax + b|) + C
19.  
x2 dxax + b = 1a3(12(ax + b)2 -2b(ax + b) + b2 ln |ax + b|) + C
20.  
dxx(ax + b) = 1b ln ax + bx + C
21.  
dxx2(ax + b) = - 1bx + ab2 ln ax + bx + C
22.  
x dx(ax + b)2 = 1a2(ln |ax + b | + bax + b) + C
23.  
x2 dx(ax + b)2 = 1a3(ax + b - 2b ln |ax + b | - b2ax + b) + C

Интегралы от трансцендентных функций

1.  
ex dx = ex + C
2.  
ax dx = axln a + C
3.  
dxx ln x = ln |ln x| + C
4.  
xn ln x dx = xn + 1(ln xn + 1 - 1(n + 1)2) + C
5.  
eax ln x dx = eax ln xa - 1aeaxx dx
6.  
xn lnm x dx = xn + 1n + 1 lnm x - mn + 1xn lnm - 1 x dx
7.  
xnlnm x dx = -xn + 1(m - 1) lnm - 1 x + n + 1m - 1xnlnm - 1 x dx
8.  
ln x dx = x ln x - x + C
9.  
arcsin x dx = x arcsin x + 1 - x2 + C
10.  
arctg x dx = x arctg x - ln 1 + x2 + C
11.  
eax dx = eaxa + C
12.  
x eax dx = eaxa2(ax + 1) + C
13.  
axxn dx = ax(n - 1)xn - 1 + ln an - 1axxn - 1
14.  
sh(x) dx = ch(x) + C
15.  
ch(x) dx = sh(x) + C

Интегралы от иррациональных функций

1.  
dxax + b = 2aax + b + C
2.  
ax + b dx = 23a(ax + b)1.5 + C
3.  
x dxax + b = 2(ax - 2b)3a2ax + b + C
4.  
xax + b dx = 2(3ax - 2b)15a2(ax + b)1.5 + C
5.  
dx(x + c)ax + b = 1b - ac lnax + b - b - acax + b + b - ac + C     (b - ac > 0)
6.  
dx(x + c)ax + b = 1ac - b arctgax + bac - b + C     (b - ac < 0)
7.  
ax + bcx + d dx = 1c (ax + b)(cx + d) - ad - bccac arctg a(cx + d)c(ax + b) + C
8.  
dxxax + b = 1b lnax + b - bax + b + b + C     (b > 0)
9.  
dxxax + b = 1-b arctgax + b-b + C     (b < 0)
10.  
dxx2ax + b = -ax + bbx - a2b dxxax + b
11.  
ax + bx dx = 2ax + b + b dxxax + b
12.  
a - xb + x dx = (a - x)(b + x) + (a + b)arcsinx + ba - x + C
13.  
a + xb - x dx = -(a + x)(b - x) - (a + b)arcsinb - xa + x + C
14.  
dxax2 + bx + c = 1a ln|2ax + b + a(ax2 + bx + c)| + C
15.  
dxax2 + bx + c = -1a arcsin2ax + bb2 - 4ac + C
16.  
ax2 + bx + c dx = 2ax + b4aax2 + bx + c + 4ac - b28a dxax2 + bx + c
17.  
x2 + a2 dx = x2x2 + a2 + a22 ln |x + x2 + a2| + C
18.  
x2 - a2 dx = x2x2 - a2 - a22 ln |x + x2 - a2| + C
19.  
dxx2 + a2 = ln|x + x2 + a2)| + C
20.  
dxx2 - a2 = ln|x + x2 - a2)| + C
21.  
x dxx2 + a2 = x2 + a2 + C
22.  
x2 - a2x dx = x2 - a2 + a arcsin (xa) + C
23.  
a2 - x2 dx = x2a2 - x2 + a22 arcsin (xa) + C
24.  
a2 - x2x dx = a2 - x2 + a ln (xa + a2 - x2) + C
25.  
dxa2 - x2 = arcsin (xa) + C
26.  
x dxa2 - x2 = -a2 - x2 + C
27.  
dxxa2 - x2 = 1a ln |xa + a2 - x2| + C

Интегралы от тригонометрических функций

1.  
sin (x) dx = -cos (x) + C
2.  
cos (x) dx = sin (x) + C
3.  
sin2 (x) dx = x2 - 14 sin (2x) + C
4.  
cos2 (x) dx = x2 + 14 sin (2x) + C
5.  
sinn (x) dx = -1n sinn - 1 (x) cos (x) + n - 1n sinn - 2 (x) dx
6.  
cosn (x) dx = 1n cosn - 1 (x) sin (x) + n - 1n cosn - 2 (x) dx
7.  
dxsin (x) = ln|tg(x2)| + C
8.  
dxcos (x) = ln|ctg(x2)| + C
9.  
dxsin2 (x) = -ctg (x) + C
10.  
dxcos2 (x) = tg (x) + C
11.  
sin (x) cos (x) dx = -14cos (2x) + C
12.  
sin2 (x) cos (x) dx = 13sin3 (x) + C
13.  
sin (x) cos2 (x) dx = -13cos3 (x) + C
14.  
sin2 (x) cos2 (x) dx = -18x - 132sin (4x) + C
15.  
tg (x) dx = -ln |cos (x)| + C
16.  
ctg (x) dx = ln |sin (x)| + C
17.  
sin (x)cos2 (x) dx = 1cos (x) + C
18.  
cos (x)sin2 (x) dx = -1sin (x) + C
19.  
sin2 (x)cos2 (x) dx = tg (x) - x + C
20.  
cos2 (x)sin2 (x) dx = -ctg (x) - x + C
21.  
sin2 (x)cos (x) dx = ln|ctg(x2)| - sin (x) + C
22.  
cos2 (x)sin (x) dx = ln|tg(x2)| + cos (x) + C
23.  
dxsin (x) cos (x) = ln|tg(x)| + C
24.  
dxsin2 (x) cos (x) = -1sin (x) + ln|ctg(x2)| + C
25.  
dxsin (x) cos2 (x) = 1cos (x) + ln|tg(x2)| + C
26.  
dxsin2 (x) cos2 (x) = tg(x) - ctg(x) + C
27.  
dxsinn (x) = -1n - 1cos (x)sinn - 1 (x) + n - 2n - 1 dxsinn - 2 (x)
28.  
tgn (x) dx = tgn - 1 (x)n - 1 tgn - 2 (x) dx
29.  
ctgn (x) dx = -ctgn - 1 (x)n - 1 ctgn - 2 (x) dx
30.  
sin (x) cosn (x) dx = -cosn + 1 (x)n + 1 + C
31.  
cos (x) sinn (x) dx = sinn + 1 (x)n + 1 + C

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0