OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"

Расстояние от точки до прямой в пространстве.

Расстояние от точки до прямой
Определение.
Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Формула для вычисления расстояния от точки до прямой в пространстве

Если s = {m; n; p} - направляющий вектор прямой l, M1(x1, y1, z1) - точка лежащей на прямой, тогда расстояние от точки M0(x0, y0, z0) до прямой l можно найти, используя формулу

d |M0M1×s|
|s|

Вывод формулы вычисления расстояния от точки до прямой в пространстве

Если задано уравнение прямой l то несложно найти s = {m; n; p} - направляющий вектор прямой и M1(x1, y1, z1) - координаты точки лежащей на этой прямой. Из свойств векторного произведения известно, что модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма построенного на этих векторах

S = |M0M1×s|.

С другой стороны площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту проведенную к этой стороне

S = |s|d.

В нашем случае высота будет равна расстоянию от точки до плоскости d, а сторона параллелограмма равна модулю направляющего вектора s.

Приравняв площади несложно получить формулу расстояния от точки до прямой.

Примеры задач на вычисление расстояния от точки до прямой в пространстве

Пример 1.
Найти расстояние между точкой M(0, 2, 3) и прямой

x - 3  =  y - 1  =  z + 1
2 1 2

Решение.

Из уравнения прямой получим:

s = {2; 1; 2} - направляющий вектор прямой;
M1(3; 1; -1) - точка лежащая на прямой.

Тогда

M0M1 = {3 - 0; 1 - 2; -1 - 3} = {3; -1; -4}

M0M1×s i j k  = 
  3    -1    -4  
  2    1    2  

= i ((-1)·2 - (-4)·1) - j (3·2 - (-4)·2) + k (3·1 -(-1)·2) = {2; -14; 5}

d |M0M1×s|  =  22 + (-14)2 + 52  =  225  =  15  = 5
|s| 22 + 12 + 22 9 3

Ответ: расстояние от точки до прямой равно 5.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0