Десятичный логарифм

Навигация по странице:

Определение
Калькулятор
Свойства
Примеры

Определение. Логарифмом числа b по основанию a, где a > 0, a ≠ 1, b > 0, называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтоб получить число b.

Определение. Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10.

Другими словами, десятичный логарифм числа b является решением уравнения 10^x = b.

Обозначение. Десятичный логарифм обозначается lg x или log x.

Калькулятор десятичных логарифмов

lg 2

Свойства десятичного логарифмов

Для любых x > 0 и y > 0 выполняются следующие свойства десятичных логарифмов.

lg x = log₁₀ x - так как основание десятичного логарифма равно 10.
10^{lg b} = b.
lg 1 = 0
lg 10 = 1
lg 10ⁿ = n
lg(x · y) = lg x + lg y
lg xy = lg x - lg y
lg xⁿ = n lg x
График функции y = lg x
(lg x)′ = 1x ln 10
∫ lg x dx = x lg x - xln 10 + C
lim lg x = -∞

x → +0

Пример 1. Найти значения десятичного логарифма от чисел 100, 1000, 0.1, 0.01, 0.001.

lg 100 = lg 10² = 2

lg 1000 = lg 10³ = 3

lg 0.1 = lg 10^-1 = -1

lg 0.01 = lg 10^-2 = -2

lg 0.001 = lg 10^-3 = -3

Пример 2.

Доказать равенство: a ^{lg b} = b ^{lg a}.

Запишем очевидное равенство:

lg b · lg a = lg a · lg ab

Возведем 10 в соответствующие степени

10^{lg b · lg a} = 10^{lg a · lg b}

(10^{lg b})^{lg a} = (10^{lg a})^{lg b}

b^{lg a} = a^{lg b}

Равенство доказано.

Пример 3.

Зная, что lg 2 = a, lg 3 = b, lg 5 = c, выразить lg 6; lg 30; lg 16 через a, b, c.

Используем формулы логарифма произведения и степени получим:

lg 6 = lg (2·3)= lg 2 + lg 3 = a + b;

lg 30 = lg (5·2·3)= lg 5 + lg 2 + lg 3 = a + b + c;

lg 16 = lg 2⁴= 4 · lg 2 = 4a.

Пример 4.

Вычислить log₉ 5 · log₂₅ 27.

Перейдем к основе 10:

log₉ 5 · log₂₅ 27 = lg 5lg 9 · lg 27lg 25

Используем свойство логарифма степени lg xⁿ = n lg x:

lg 5lg 9 · lg 27lg 25 = lg 5lg 3² · lg 3³lg 5² = lg 52 lg 3 · 3 lg 32 lg 5 = 34

Пример 5.

Вычислить log₃₀ 8, если lg 5 = a, lg 3 = b.

Перейдем к основе 10:

log ₃₀ 8 = lg 8lg 30 = lg 2³lg (3 · 10) =

Используем свойство логарифма степени, произведения, частного и то что 2= 105:

= 3 lg 2lg 3 + lg 10 = 3 lg 2lg 3 + 1 = 3 lg 105lg 3 + 1 = 3(lg 10 - lg 5)lg 3 + 1 = 3(1 - lg 5)lg 3 + 1 =

Подставим lg 5 = a, lg 3 = b:

= 3(1 - a)b + 1

Ответ:

log₃₀ 8 = 3(1 - a)b + 1

Логарифмы Логарифм числа, основное логарифмическое тождество Формулы и свойства логарифмов Логарифм произведения. Сумма логарифмов Логарифм частного. Разность логарифмов Логарифм степени Логарифм корня Логарифмирование Потенцирование Десятичный логарифм Натуральный логарифм Число е Логарифмическая функция Логарифмические уравнения Логарифмические неравенства

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

lim	lg x = -∞
x → +0