OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"

Логарифмические неравенства

Определение. Логарифмические неравенства - это неравенства, содержащие переменную под знаком логарифма.

Например: log3 (x2 - 3 x + 3) > 1.

При решении логарифмических неравенств помним:

  1. общие свойства неравенств;

  2. свойства монотонности логарифмической функции;

  3. область определения логарифмической функции.

Основные методы решения логарифмических неравенств

  1. loga f(x) > b a > 1   <=>   f(x) > ab
  2. loga f(x) > b 0 < a < 1   <=>   0 < f(x) < ab
  3. loga f(x) < b a > 1   <=>   0 < f(x) < ab
  4. loga f(x) < b 0 < a < 1   <=>   f(x) > ab
  5. logg(x) f(x) > b   <=>   f(x) > g(x)b g(x) > 1 f(x) < g(x)b 0 < g(x) < 1 f(x) > 0
  6. logg(x) f(x) < b   <=>   f(x) < g(x)b g(x) > 1 f(x) > 0 f(x) > g(x)b 0 < g(x) < 1
  7. loga f(x) > loga h(x) a > 1   <=>   f(x) > h(x) h(x) > 0
  8. loga f(x) > loga h(x) 0 < a < 1   <=>   f(x) < h(x) f(x) > 0
  9. loga f(x) < loga h(x) a > 1   <=>   f(x) < h(x) f(x) > 0
  10. loga f(x) < loga h(x) 0 < a < 1   <=>   f(x) > h(x) h(x) > 0
  11. logg(x) f(x) > logg(x) h(x)   <=>   f(x) > h(x) g(x) > 1 h(x) > 0 f(x) < h(x) 0 < g(x) < 1 f(x) > 0
  12. logg(x) f(x) < logg(x) h(x)   <=>   f(x) < h(x) g(x) > 1 f(x) > 0 f(x) > h(x) 0 < g(x) < 1 h(x) > 0

Примеры решения логарифмических неравенств

Пример 1.

Решить неравенство log2 (x2 + 3x) ≤ 2.

Так как основа логарифма 2 > 1, то используем третий метод для решения неравенства

log2 (x2 + 3x) ≤ 2   =>   0 < x2 + 3x ≤ 22   =>   x2 + 3x ≤ 4 x2 + 3x > 0   =>   x2 + 3x -4 ≤ 0 x(x + 3) > 0   =>   (x + 4)(x -1) ≤ 0 x(x + 3) > 0

Найдем общее решение:

x ∈ [-4; -3) ∪ (0; 1]

Ответ: x ∈ [-4; -3) ∪ (0; 1].

Пример 2.

Решить неравенство logx - 3 (x - 1) < 2.

Используем вторую схему для решения неравенства

logx - 3 (x - 1) < 2   =>   x - 1 < (x - 3)2 x - 3 > 1 x - 1 > 0 x - 1 > (x - 3)2 0 < x - 3 < 1   =>   x - 1 < x2 - 6x + 9 x > 4 x > 1 x - 1 > x2 - 6x + 9 3 < x < 4   =>   x2 - 7x + 10 > 0 x > 4 x2 - 7x + 10 < 0 3 < x < 4   =>   (x - 2)(x -5) > 0 x > 4 (x - 2)(x -5) < 0 3 < x < 4   =>   x ∈ (-∞; 2) ∪ (5; +∞) x > 4 x ∈ (2; 5) 3 < x < 4   =>   x ∈ (5; +∞) x ∈ (3; 4)   =>   x ∈ (3; 4) ∪ (5; +∞)

Ответ: x ∈ (3; 4) ∪ (5; +∞).

Пример 3.

Решить неравенство log20.5 x + log0.5 x - 2 ≤ 0.

ОДЗ x > 0.

Сделаем замену log0.5 x = t

t2 + t - 2 ≤ 0

(t + 2)(t - 1) ≤ 0

-2 ≤ t ≤ 1

Вернемся обратно к переменной x и с учетом ОДЗ решим неравенство:

t ≥ -2 t ≤ 1   =>   log0.5 x ≥ -2 log0.5 x ≤ 1   =>  

Так как основа логарифма 0.5 < 1

  =>   x ≤ 0.5-2 x ≥ 0.51   =>   x ≤ 4 x ≥ 0.5

Ответ: x ∈ [0.5; 4].

Пример 4.

Решить неравенство: log0.4 x + log0.4 (x - 1) ≥ log0.4 (x + 3).

ОДЗ: x > 0 x - 1 > 0 x + 3 > 0   =>   x > 0 x > 1 x > -3   =>   x > 1

Используя свойство, суммы логарифмов, перепишем неравенство:

log0.4 x(x - 1) ≥ log0.4 (x + 3)

Так как основа логарифма 0.4 < 1 используем 8 схему решения неравенств, с учетом ОДЗ:

x(x - 1) ≤ x + 3 x > 1   =>   x2 - xx + 3 x > 1   =>   x2 - 2x - 3 ≤ 0 x > 1   =>   (x + 1)(x - 3) ≤ 0 x > 1

Найдем общее решение:

Ответ: x ∈ (1; 3].

Пример 5.

Решить неравенство: (3 - 2x) log0.1 x < 0.

ОДЗ: x > 0

Найдем нули функции, стоящей в левой части неравенства:

(3 - 2x) log0.1 x = 0   =>   3 - 2x = 0 log0.1 x = 0   =>   x = 1.5 x = 1

Используя метод интервалов найдем решение:

Ответ: x ∈ (1; 1.5).

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0