OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"

Логарифмические уравнения

Определение. Логарифмические уравнения - это уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма.

Например: log3 (3x - 2) = 4.

Решение логарифмических уравнений основывается на определении логарифма, свойствах логарифмической функции и свойствах логарифма

Основные методы решения логарифмических уравнений

  1. log a f(x) = b      <=>      f(x) = ab     a > 0, a ≠ 1.
  2. log f(x) g(x) = b   <=>   (f(x))b = g(x) f(x) > 0 f(x) ≠ 1 g(x) > 0
  3. log a f(x) = log a g(x)   <=>   f(x) = g(x) f(x) > 0   или   f(x) = g(x) g(x) > 0
  4. log f(x) g(x) = logf(x) h(x)   <=>   g(x) = h(x) f(x) > 0 f(x) ≠ 1 g(x) > 0   или   g(x) = h(x) f(x) > 0 f(x) ≠ 1 h(x) > 0
  5. loga f(x) + loga g(x) = loga h(x)   <=>   log a (f(x) g(x)) = log a h(x) f(x) > 0 g(x) > 0 h(x) > 0
  6. loga f(x) - loga g(x) = loga h(x)   <=>   log a f(x)g(x) = log a h(x) f(x) > 0 g(x) > 0 h(x) > 0
  7. n loga f(x) = loga h(x)   <=>   log a f(x)n = log a h(x) f(x) > 0 h(x) > 0
  8. log a (f(x) g(x)) = log a |f(x)| + log a |g(x)|

    log a f(x)g(x) = log a |f(x)| - log a |g(x)|

    log a (f(x))2n = 2n log a |f(x)|

Примеры решения логарифмических уравнений

1. Использование определения логарифма

Пример 1.

Решить уравнение log27 x = 23.

Сначала найдем область допустимых значений уравнения (ОДЗ): x > 0

Преобразуем логарифмическое уравнение и выполним вычисления:

log27 x = 23   <=>   272/3 = x

x = 272/3 = (33)2/3 = 32 = 9

Ответ: x = 9.

Пример 2.

Решить уравнение log2 (x - 3) = 4.

Найдем ОДЗ уравнения: x - 3 > 0   =>   x > 3

Из определения логарифма получим:

x - 3 = 24 = 16

x = 16 + 3 = 19

Ответ: x = 19.

Пример 3.

Решить уравнение logx (2x2 - 3x - 4) = 2.

Найдем ОДЗ уравнения: x > 0 x ≠ 1 2x2 - 3x - 4 > 0

Из определения логарифма получим:

x2 = 2x2 - 3x - 4   =>   x2 - 3x - 4 = 0

Используя теорему Виета легко найти корни уравнения x2 - 3x - 4 = 0

x1 = 4, x2 = -1

Выберем корни входящие в ОДЗ:

x1 = 4 - удовлетворяет всем условиям ОДЗ:

4 > 0 4 ≠ 1 2·42 - 3·4 - 4 = 32 - 12 - 4 = 16 > 0

x2 = -1 - не удовлетворяет первому условию из ОДЗ:

-1 < 0 -1 ≠ 1 2·(-1)2 - 3·(-1) - 4 = 2 + 3 - 4 = 1 > 0

Ответ: x = 4.


2. Метод потенцирования

Пример 4.

Решить уравнение log3 (x2 - 4x - 5) = log3 (7 - 3x).

Найдем ОДЗ уравнения: x2 - 4x - 5 > 0 7 - 3x > 0

Заменим логарифмическое уравнение равносильным:

x2 - 4x - 5 = 7 - 3x

x2 - x - 12 = 0

Используя теорему Виета легко найти корни уравнения x2 - x - 12 = 0

x1 = 4, x2 = -3

Выберем корни входящие в ОДЗ:

x1 = 4 - не удовлетворяет условиям ОДЗ:

42 - 4·4 - 5 = -5 < 0 7 - 3·4 = -5 < 0

x2 = -3 - удовлетворяет условиям ОДЗ:

(-3)2 - 4·(-3) - 5 = 16 > 0 7 - 3·(-3) = 16 > 0

Ответ: x = -3.

Пример 5.

Решить уравнение lg (x - 9) + lg (2x - 1) = 2.

Найдем ОДЗ уравнения: x - 9 > 0 2x - 1 > 0   =>   x > 9 x > 0.5   =>   x ϵ (9; +∞)

Так как lg 100 = 2, то

lg (x - 9) + lg (2x - 1) = lg 100

Используем свойство, что сумма логарифмов равна логарифму произведения

lg (x - 9)(2x - 1) = lg 100

Заменим логарифмическое уравнение равносильным:

(x - 9)(2x - 1) = 100

2x2 - 19x + 9 = 100

2x2 - 19x - 91 = 0

Решим квадратное уравнение:

D = 192 - 4·2·(-91) = 1089

x1 = 19 + √10892·2 = 19 + 334 = 13

x2 = 19 - √10892·2 = 19 - 334 = -3.5

ОДЗ удовлетворяет только один корень x = 13

Ответ: x = 13.


3. Метод замены переменной, сведение логарифмического уравнения к алгебраическому

Пример 6.

Решить уравнение 112lg2 x = 13 - 14lg x.

ОДЗ: x > 0.

Выполним замену переменной lg x = t:

112t2 = 13 - 14t

t2 = 4 - 3t

t2 + 3t - 4 = 0

Используя теорему Виета легко найти корни уравнения

t1 = -4

t2 = 1

Вернемся к переменной x

lg x = -4 lg x = 1   =>   x = 10-4 x = 10

Ответ: уравнение имеет два корня x1 = 0.0001 и x2 = 10.


4. Сведение логарифмического уравнения к одной основе

Пример 7.

Решить уравнение log4 x + log1/16 x + log8 x3 = 5.

ОДЗ: x > 0.

Используя свойства логарифмов сведем логарифмы в уравнении к основе 2:

12log2 x - 14log2 x + log2 x = 5

(12 - 14 + 1)log2 x = 5

54log2 x = 5

log2 x = 4

x = 24 = 16

Ответ: x = 16.


5. Логарифмирование обоих частей уравнения

Пример 8.

Решить уравнение xlg x = 100x.

ОДЗ: x > 0.

Прологарифмируем обе части уравнения по основе 10, и используем свойства логарифма степени и частного:

lg xlg x = lg 100x

lg x · lg x = lg 100 - lg x

lg2 x + lg x - 2 = 0

Выполним замену переменной lg x = t:

t2 + x - 2 = 0

Используя теорему Виета легко найти корни уравнения

t1 = -2

t2 = 1

Вернемся к переменной x

lg x = -2 lg x = 1   =>   x = 10-2 x = 10

Ответ: уравнение имеет два корня x1 = 0.01 и x2 = 10.


6. Использование монотонности при решении логарифмических уравнений

Пример 9.

Решить уравнение log5 (x + 3) = 3 - x.

ОДЗ: x > 0.

y = log5 (x + 3) - монотонно возрастающая функция;

y = 3 - x - монотонно убывающая функция;

Так как первая функция монотонно возрастающая, а вторая монотонно убывающая, то они имеют одну точку пересечения, которая будет решением исходного уравнения.

Подбором найдем решение:

При x = 2   =>   log5 (2 + 3) = 1; 3 - 2 = 1

Ответ: x = 2.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0