Логарифмические уравнения

Определение. Логарифмические уравнения - это уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма.

Например: log₃ (3x - 2) = 4.

Решение логарифмических уравнений основывается на определении логарифма, свойствах логарифмической функции и свойствах логарифма

Основные методы решения логарифмических уравнений

log _a f(x) = b <=> f(x) = a^b a > 0, a ≠ 1.
log _f(x) g(x) = b <=> (f(x))^b = g(x) f(x) > 0 f(x) ≠ 1 g(x) > 0
log _a f(x) = log _a g(x) <=> f(x) = g(x) f(x) > 0 или f(x) = g(x) g(x) > 0
log _f(x) g(x) = log_f(x) h(x) <=> g(x) = h(x) f(x) > 0 f(x) ≠ 1 g(x) > 0 или g(x) = h(x) f(x) > 0 f(x) ≠ 1 h(x) > 0
log_a f(x) + log_a g(x) = log_a h(x) <=> log _a (f(x) g(x)) = log _a h(x) f(x) > 0 g(x) > 0 h(x) > 0
log_a f(x) - log_a g(x) = log_a h(x) <=> log _a f(x)g(x) = log _a h(x) f(x) > 0 g(x) > 0 h(x) > 0
n log_a f(x) = log_a h(x) <=> log _a f(x)ⁿ = log _a h(x) f(x) > 0 h(x) > 0
log _a (f(x) g(x)) = log _a |f(x)| + log _a |g(x)|

log _a f(x)g(x) = log _a |f(x)| - log _a |g(x)|

log _a (f(x))²ⁿ = 2n log _a |f(x)|

Примеры решения логарифмических уравнений

1. Использование определения логарифма

Пример 1.

Решить уравнение log₂₇ x = 23.

Сначала найдем область допустимых значений уравнения (ОДЗ): x > 0

Преобразуем логарифмическое уравнение и выполним вычисления:

log₂₇ x = 23 <=> 27^2/3 = x

x = 27^2/3 = (3³)^2/3 = 3² = 9

Ответ: x = 9.

Пример 2.

Решить уравнение log₂ (x - 3) = 4.

Найдем ОДЗ уравнения: x - 3 > 0 => x > 3

Из определения логарифма получим:

x - 3 = 2⁴ = 16

x = 16 + 3 = 19

Ответ: x = 19.

Пример 3.

Решить уравнение log_x (2x² - 3x - 4) = 2.

Найдем ОДЗ уравнения: x > 0 x ≠ 1 2x² - 3x - 4 > 0

Из определения логарифма получим:

x² = 2x² - 3x - 4 => x² - 3x - 4 = 0

Используя теорему Виета легко найти корни уравнения x² - 3x - 4 = 0

x₁ = 4, x₂ = -1

Выберем корни входящие в ОДЗ:

x₁ = 4 - удовлетворяет всем условиям ОДЗ:

4 > 0 4 ≠ 1 2·4² - 3·4 - 4 = 32 - 12 - 4 = 16 > 0

x₂ = -1 - не удовлетворяет первому условию из ОДЗ:

-1 < 0 -1 ≠ 1 2·(-1)² - 3·(-1) - 4 = 2 + 3 - 4 = 1 > 0

Ответ: x = 4.

2. Метод потенцирования

Пример 4.

Решить уравнение log₃ (x² - 4x - 5) = log₃ (7 - 3x).

Найдем ОДЗ уравнения: x² - 4x - 5 > 0 7 - 3x > 0

Заменим логарифмическое уравнение равносильным:

x² - 4x - 5 = 7 - 3x

x² - x - 12 = 0

Используя теорему Виета легко найти корни уравнения x² - x - 12 = 0

x₁ = 4, x₂ = -3

Выберем корни входящие в ОДЗ:

x₁ = 4 - не удовлетворяет условиям ОДЗ:

4² - 4·4 - 5 = -5 < 0 7 - 3·4 = -5 < 0

x₂ = -3 - удовлетворяет условиям ОДЗ:

(-3)² - 4·(-3) - 5 = 16 > 0 7 - 3·(-3) = 16 > 0

Ответ: x = -3.

Пример 5.

Решить уравнение lg (x - 9) + lg (2x - 1) = 2.

Найдем ОДЗ уравнения: x - 9 > 0 2x - 1 > 0 => x > 9 x > 0.5 => x ϵ (9; +∞)

Так как lg 100 = 2, то

lg (x - 9) + lg (2x - 1) = lg 100

Используем свойство, что сумма логарифмов равна логарифму произведения

lg (x - 9)(2x - 1) = lg 100

Заменим логарифмическое уравнение равносильным:

(x - 9)(2x - 1) = 100

2x² - 19x + 9 = 100

2x² - 19x - 91 = 0

Решим квадратное уравнение:

D = 19² - 4·2·(-91) = 1089

x₁ = 19 + √10892·2 = 19 + 334 = 13

x₂ = 19 - √10892·2 = 19 - 334 = -3.5

ОДЗ удовлетворяет только один корень x = 13

Ответ: x = 13.

3. Метод замены переменной, сведение логарифмического уравнения к алгебраическому

Пример 6.

Решить уравнение 112lg² x = 13 - 14lg x.

ОДЗ: x > 0.

Выполним замену переменной lg x = t:

112t² = 13 - 14t

t² = 4 - 3t

t² + 3t - 4 = 0

Используя теорему Виета легко найти корни уравнения

t₁ = -4

t₂ = 1

Вернемся к переменной x

lg x = -4 lg x = 1 => x = 10^-4 x = 10

Ответ: уравнение имеет два корня x₁ = 0.0001 и x₂ = 10.

4. Сведение логарифмического уравнения к одной основе

Пример 7.

Решить уравнение log₄ x + log_1/16 x + log₈ x³ = 5.

ОДЗ: x > 0.

Используя свойства логарифмов сведем логарифмы в уравнении к основе 2:

12log₂ x - 14log₂ x + log₂ x = 5

(12 - 14 + 1)log₂ x = 5

54log₂ x = 5

log₂ x = 4

x = 2⁴ = 16

Ответ: x = 16.

5. Логарифмирование обоих частей уравнения

Пример 8.

Решить уравнение x^{lg x} = 100x.

ОДЗ: x > 0.

Прологарифмируем обе части уравнения по основе 10, и используем свойства логарифма степени и частного:

lg x^{lg x} = lg 100x

lg x · lg x = lg 100 - lg x

lg² x + lg x - 2 = 0

Выполним замену переменной lg x = t:

t² + x - 2 = 0

Используя теорему Виета легко найти корни уравнения

t₁ = -2

t₂ = 1

Вернемся к переменной x

lg x = -2 lg x = 1 => x = 10^-2 x = 10

Ответ: уравнение имеет два корня x₁ = 0.01 и x₂ = 10.

6. Использование монотонности при решении логарифмических уравнений

Пример 9.

Решить уравнение log₅ (x + 3) = 3 - x.

ОДЗ: x > 0.

y = log₅ (x + 3) - монотонно возрастающая функция;

y = 3 - x - монотонно убывающая функция;

Так как первая функция монотонно возрастающая, а вторая монотонно убывающая, то они имеют одну точку пересечения, которая будет решением исходного уравнения.

Подбором найдем решение:

При x = 2 => log₅ (2 + 3) = 1; 3 - 2 = 1

Ответ: x = 2.

Логарифмы Логарифм числа, основное логарифмическое тождество Формулы и свойства логарифмов Логарифм произведения. Сумма логарифмов Логарифм частного. Разность логарифмов Логарифм степени Логарифм корня Логарифмирование Потенцирование Десятичный логарифм Натуральный логарифм Число е Логарифмическая функция Логарифмические уравнения Логарифмические неравенства

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!