Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество

Навигация по странице:

Определение
Калькулятор логарифмов
График логарифма
Основное логарифмическое тождество
Вычисление логарифмов

Определение. Логарифмом числа b по основанию a, где a > 0, a ≠ 1, b > 0, называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтоб получить число b.

Обозначение. log_a b - произносится: «логарифм b по основанию a».

Калькулятор логарифмов

log -2

График

y = log₂ x

Записи log_a b = c и b = a^c равносильны.

Подставив во вторую формулу значение степени через логарифм, получим основное логарифмичесое тождество.

Основное логарифмическое тождество

При условии, что a > 0, a ≠ 1, b > 0 можно записать основное логарифмическое тождество

a^log_ab = b

Примеры:

3^log₃ 7 = 7

3^-log₃ 7 = 13^log₃ 7 = 17

4^log₂ 7 =2^{2 log₂ 7} = (2^log₂ 7)² = 7² = 49

2^{1 + log₂ 7} = 2 · 2^log₂ 7 = 2 · 7 = 14

Вычисление логарифма равносильно решению показательного уравнения

Показательное уравнение:

a^x = b,

при условии a > 0, a ≠ 1; b > 0, где

x — показатель степени, a — основа степени, b — степень числа a.

Логарифмическое уравнение:

log_a b = x,

при условии a > 0, a ≠ 1; b > 0, где

x — логарифм числа b с основой a, a — основа логарифма, b — число, которое стоит под знаком логарифма.

Примеры:

2⁵ = 32 ⇔ 5 = log₂ 32;

3⁴ = 81 ⇔ 4 = log₃ 81;

log_1/5 125 = -3 ⇔ (1/5)^-3 = 125;

log₂ 116 = -4 ⇔ 2^-4 = 116.

Пример 1

Найти логарифм: log ₄ 8

Обозначим log₄ 8 через x:

log₄ 8 = x

Перейдем к показательному уравнению:

4^x = 8

Сведем показательное уравнение к основе 2 и решим его:

2^2x = 2³

2x = 3

x = 32

Ответ:

log₄ 8 = 32

Пример 2

Найти x если : log_x 125 = 32

За определением логарифма имеем:

x^3/2 = 125

Возведем обе части в степень 23, и воспользуемся свойствами степеней:

(x^3/2)^2/3 = 125^2/3

x = (5³)^2/3 = 5^3·2/3 = 5² = 25

Ответ:

x = 25

Логарифмы Логарифм числа, основное логарифмическое тождество Формулы и свойства логарифмов Логарифм произведения. Сумма логарифмов Логарифм частного. Разность логарифмов Логарифм степени Логарифм корня Логарифмирование Потенцирование Десятичный логарифм Натуральный логарифм Число е Логарифмическая функция Логарифмические уравнения Логарифмические неравенства

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!