Натуральный логарифм

Навигация по странице:

Определение
Калькулятор
Свойства

Определение. Логарифмом числа b по основанию a, где a > 0, a ≠ 1, b > 0, называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтоб получить число b.

Определение. Натуральный логарифм — логарифм основанием, которого является число e.

Другими словами, натуральный логарифм числа b является решением уравнения e^x = b.

Обозначение. Натуральный логарифм обозначается ln x.

Калькулятор натуральных логарифмов

ln 0

Свойства натуральных логарифмов

Для любых x > 0 и y > 0 выполняются следующие свойства натуральных логарифмов.

ln x = log_e x - так как основание натурального логарифма равно числу e.
e^{ln b} = b.
ln 1 = 0
ln e = 1
ln eⁿ = n
ln(x · y) = ln x + ln y
ln xy = ln x - ln y
ln xⁿ = n ln x
График функции y = ln x
ln x < ln y, 0 < x < y (ln x - возрастающая функция)
x1 + x ≤ ln (1 + x) ≤ x, если x > -1
(ln x)′ = 1x
∫ ln x dx = x ln x - x + C
lim ln x = -∞

x → +0
lim ln (1 - x)x = 1

x → +0
ln (1 + x) = ∑n = 1∞ (-1)^{n + 1}nxⁿ, для |x| < 1 (ряд Макларена)

ln (1 + x) = x - x²2 + x³3 - x⁴4 + ... + (-1)^{n + 1} xⁿn, (|x| < 1)
Также ln a может быть определен как площадь, заключённая под кривой графика 1x на участке от 1 до a,

ln a = ∫1adxx

Логарифмы Логарифм числа, основное логарифмическое тождество Формулы и свойства логарифмов Логарифм произведения. Сумма логарифмов Логарифм частного. Разность логарифмов Логарифм степени Логарифм корня Логарифмирование Потенцирование Десятичный логарифм Натуральный логарифм Число е Логарифмическая функция Логарифмические уравнения Логарифмические неравенства

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

lim	ln x = -∞
x → +0

lim	ln (1 - x)x = 1
x → +0