OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"

Обратная матрица.

Определение.
Обратная матрица A−1 — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E:

A·A-1 = A-1·A = E

Замечание.
Обратная матрица существует только для квадратных матриц определитель которых не равен нулю.

Свойства обратной матрицы

det(A-1) =  1
det(A)
(A·B)-1 = A-1·B-1
(A-1)T = (AT)-1
(kA)-1 A-1
k
(A-1)-1 = A

Методы вычисления обратной матрицы

Вычисление обратной матрицы с помощью присоединённой матрицы

Теорема.
Если справа к квадратной матрице дописать единичную матрицу того же порядка и с помощью элементарных преобразований над строками преобразовать полученную матрицу так, чтобы начальная матрица стала единичной, то матрица полученная из единичной будет обратной матрицей к исходной.
Замечание.
Если при преобразованиях в левой части матрицы образуется нулевая строка (столбец), то исходная матрица не имеет обратной матрицы.
Пример 1.
Найти обратную матрицу матрицы A
A = (241)
021
211

Решение: Приписываем к матрице A справа единичную матрицу третьего порядка:

A|E = (241100) ~
021010
211001

Преобразуем левую часть полученной матрицы в единичную. Для этого от 3-тей строки отнимем 1-ую строку:

(241100) ~ 
021010
2 - 21 - 41 - 10 - 10 - 01 - 0

 ~ (241100) ~
021010
0-30-101

Третью строку поделим на (-3) и поменяем местами со второй строкой:

(241100) ~ 
021010
0101/30-1/3

 ~ (241100) ~
0101/30-1/3
021010

Отнимем он 1-ой строки 2-ую умноженную на 4; от 3-тей строки 2-ую умноженную на 2:

(2 - 4·04 - 4·11 - 4·01 - 4·(1/3)0 - 4·00 - 4·(-1/3)) ~ 
0101/30-1/3
0 - 2·02 - 2·11 - 2·00 - 2·1/31 - 2·00 - 2·(-1/3)

 ~ (201-1/304/3) ~
0101/30-1/3
001-2/312/3

Отнимем он 1-ой строки 3-ую строку:

(2 - 00 - 01 - 1-1/3 - (-2/3)0 - 14/3 - 2/3) ~ 
0101/30-1/3
001-2/312/3

 ~ (2001/3-12/3) ~
0101/30-1/3
001-2/312/3

Разделим 1-ую строку на 2:

(1001/6-1/21/3)
0101/30-1/3
001-2/312/3

Ответ: A-1(1/6-1/21/3)
1/30-1/3
-2/312/3

Вычисление обратной матрицы с помощью союзной матрицы

Определение.
Матрица Ã, элементы которой равны алгебраическим дополнениям соответствующих элементов матрицы A называется союзной матрицей.
A-1 1 ÃT
det(A)
Пример 1.
Найти обратную матрицу матрицы A
A = (241)
021
211

Решение: Найдем определитель матрицы A:

det(A) =  241  = 
021
211

= 2·2·1 + 4·1·2 + 1·0·1 - 1·2·2 - 2·1·1 - 4·0·1 = 4 + 8 + 0 - 4 - 2 - 0 = 6

Найдем алгебраические дополнения матрицы A:

A11 = (-1)1 + 1· 2 1  = 2·1 - 1·1 = 1
1 1

A12 = (-1)1 + 2· 0 1  = -(0·1 - 1·2) = 2
2 1

A13 = (-1)1 + 3· 0 2  = 0·1 - 2·2 = -4
2 1

A21 = (-1)2 + 1· 4 1  = -(4·1 - 1·1) = -3
1 1

A22 = (-1)2 + 2· 2 1  = 2·1 - 1·2 = 0
2 1

A23 = (-1)2 + 3· 2 4  = -(2·1 - 4·2) = 6
2 1

A31 = (-1)3 + 1· 4 1  = 4·1 - 1·2 = 2
2 1

A32 = (-1)3 + 2· 2 1  = -(2·1 - 1·0) = -2
0 1

A33 = (-1)3 + 3· 2 4  = 2·2 - 4·0 = 4
0 2

Запишем союзную матрицу:

à = (12-4)
-306
2-24

Найдем обратную матрицу:

A-1 1 ÃT  =  1
det(A) 6
(1-32)
20-2
-464
 = 
(1/6-1/21/3)
1/30-1/3
-2/312/3

Ответ: A-1(1/6-1/21/3)
1/30-1/3
-2/312/3

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0