OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"

Линейно зависимые и независимые строки.

Определение.
Линейной комбинацией строк s1, s2, ..., sl матрицы A называется выражение

α1s1 + α2s2 + ... + αlsl

Определение.
Линейная комбинация строк называется тривиальной, если все коэффициенты αi одновременно равны нулю.
Замечание.
Тривиальная линейная комбинация строк равна нулевой строке.
Определение.
Линейная комбинация строк называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов αi не равен нулю.
Определение.
Система строк называется линейно зависимой (ЛЗ), если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевой строке.
Определение.
Система строк называется линейно независимой (ЛНЗ), если только тривиальная линейная комбинация равна нулевой строке (не существует их нетривиальной линейной комбинации, равной нулевой строке).
Замечание.
Система строк квадратной матрицы линейно независима тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы не равен нулю.
Замечание.
Система строк квадратной матрицы линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю.
Пример 1.
Показать, что система строк {s1 = {2   5}; s2 = {4   10}} является линейно зависимой.

Решение. Составим линейную комбинацию этих строк

α1{2   5} + α2{4   10}

Найдем при каких значениях α1, α2 эта линейная комбинация равна нулевой строке

α1{2   5} + α2{4   10} = {0   0}

Данное уравнение эквивалентно следующей системе уравнений:

{ 2α1 + 4α2 = 0
5α1 + 10α2 = 0

Разделим первое уравнение на 2, а второе уравнение на 5:

{ α1 + 2α2 = 0
α1 + 2α2 = 0

Решением этой системы могут быть любые числа α1 и α2 такие что: α1 = -2α2, например, α2 = 1, α1 = -2, а это означает что строки s1 и s2 линейно зависимые.

Пример 2.
Показать, что система строк {s1 = {2   5   1}; s2 = {4   10   0}} является линейно независимой.

Решение. Составим линейную комбинацию этих строк

α1{2   5   1} + α2{4   10   0}

Найдем при каких значениях α1, α2 эта линейная комбинация равна нулевой строке

α1{2   5   1} + α2{4   10   0} = {0   0   0}

Данное уравнение эквивалентно следующей системе уравнений:

{ 2α1 + 4α2 = 0
5α1 + 10α2 = 0
α1 + 0α2 = 0

Из 3-тего уравнения получаем α1 = 0, подставим это значение в 1-ое и 2-ое уравнения:

{ 2·0 + 4α2 = 0    =>    { 4α2 = 0    =>    { α2 = 0
5·0 + 10α2 = 0 10α2 = 0 α2 = 0
α1 = 0 α1 = 0 α1 = 0

Так как линейная комбинация строк равна нулю только когда α1 = 0 и α2 = 0, то строки линейно независимые.


Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0