OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"

Умножение матриц.

Определение.
Результатом умножения матриц Am×n и Bn×k будет матрица Cm×k такая, что элемент матрицы C, стоящий в i-той строке и j-том столбце (cij), равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B:

cij = ai1 · b1j + ai2 · b2j + ... + ain · bnj

Замечание.
Две матрицы можно перемножить между собой тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

Свойства умножения матриц

  • (A · B) · C= A · (B · C) - произведение матриц ассоциативно;
  • (z · A) · B= z · (A · B), где z - число;
  • A · (B + C) = A · B + A · C - произведение матриц дистрибутивно;
  • En · Anm = Anm · Em= Anm - умножение на единичную матрицу;
  • A · B ≠ B · A - в общем случае произведение матриц не коммутативно.
  • Произведением двух матриц есть матрица, у которой столько строк, сколько их у левого сомножителя, и столько столбцов, сколько их у правого сомножителя.

Примеры задач на умножение матриц

Пример 1.
Найти матрицу C равную произведению матриц A =  (  4  2  )  и B =  (  3  1  ) .
 9  0  -3  4 

Решение:

С = A · B =  (  4  2  )  ·  (  3  1  )  =  (  6  12  )
 9  0   -3  4   27  9 

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

c11 = a11·b11 + a12·b21 = 4·3 + 2·(-3) = 12 - 6 = 6

c12 = a11·b12 + a12·b22 = 4·1 + 2·4 = 4 + 8 = 12

c21 = a21·b11 + a22·b21 = 9·3 + 0·(-3) = 27 + 0 = 27

c22 = a21·b12 + a22·b22 = 9·1 + 0·4 = 9 + 0 = 9

Пример 2
Найти матрицу C равную произведению матриц A = 
(  2  1  )
 -3  0 
 4  -1 
 и B = 
(  5  -1  6  )
 -3  0  7 
.

Решение:

C = A · B = 
(  2  1  )
 -3  0 
 4  -1 
 · 
(  5  -1  6  )
 -3  0  7 
 = 
(  7  -2  19  )
 -15  3  -18 
 23  -4  17 

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

c11 = a11·b11 + a12·b21 = 2·5 + 1·(-3) = 10 - 3 = 7

c12 = a11·b12 + a12·b22 = 2·(-1) + 1·0 = -2 + 0 = -2

c13 = a11·b13 + a12·b23 = 2·6 + 1·7 = 12 + 7 = 19

c21 = a21·b11 + a22·b21 = (-3)·5 + 0·(-3) = -15 + 0 = -15

c22 = a21·b12 + a22·b22 = (-3)·(-1) + 0·0 = 3 + 0 = 3

c23 = a21·b13 + a22·b23 = (-3)·6 + 0·7 = -18 + 0 = -18

c31 = a31·b11 + a32·b21 = 4·5 + (-1)·(-3) = 20 + 3 = 23

c32 = a31·b12 + a32·b22 = (4)·(-1) + (-1)·0 = -4 + 0 = -4

c33 = a31·b13 + a32·b23 = 4·6 + (-1)·7 = 24 - 7 = 17

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0