OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"
ГлавнаяУпражненияОнлайн решебникСправочникТаблицы и формулыОбратная связьЗаказать решение


Направляющие косинусы вектора.


Определение направляющих косинусов

Определение.
Направляющие косинусы вектора a – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат.

Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора.

Основное соотношение.
Чтобы найти направляющие косинусы вектора a необходимо соответствующие координаты вектора поделить на модуль вектора.

Соответственно координатам единичного вектора равны его направляющим косинусам.

Свойство направляющих косинусов.
Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.



Формулы вычисления направляющих косинусов вектора

Формула вычисления направляющих косинусов вектора для плоских задач

В случае плоской задачи (рис. 1) направляющие косинусы вектора a = {ax ; ay} можно найти воспользовавшись следующей формулой

cos α = ax;   cos β = ay
|a||a|

Свойство:

cos
2 α + cos2 β = 1
направляющие косинусы вектора
рис. 1

Формула вычисления направляющих косинусов вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи (рис. 2) направляющие косинусы вектора a = {ax ; ay ; az} можно найти воспользовавшись следующей формулой

cos α = ax;   cos β = ay;   cos γ = az
|a||a||a|

Свойство:

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
направляющие косинусы вектора
рис. 2


Примеры задач с направляющими косинусами вектора

Примеры плоских задач с направляющими косинусами вектора

Пример 1.
Найти направляющие косинусы вектора a = {3; 4}.

Решение:

Найдем модуль вектора a:
|a| = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5.

Найдем направляющие косинусы вектора a:
cos α = ax = 3 = 0.6
|a|5
cos β = ay = 4 = 0.8
|a|5

Ответ: направляющие косинусы вектора cos α = 0.6, cos β = 0.8.

Пример 2.
Найти значение векора a если его длина равна 26, а направляющие косинусы cos α = 5/13, cos β = -12/13.

Решение:

ax = |a| · cos α = 26 · 5/13 = 10
ay = |a| · cos β = 26 · (-12/13) = -24

Ответ: a = {10; -24}.

Примеры пространственных задач с направляющими косинусами вектора

Пример 3.
Найти направляющие косинусы вектора a = {2; 4; 4}.

Решение:

Найдем модуль вектора a:
|a| = √22 + 42 + 42 = √4 + 16 + 16 = √36 = 6.

Найдем направляющие косинусы вектора a:
cos α = ax = 2 = 1
|a|63
cos β = ay = 4 = 2
|a|63
cos γ = az = 4 = 2
|a|63

Ответ: направляющие косинусы вектора cos α = 1cos β = 2cos γ = 2.
333

Смотрите также:

Добавить комментарий





© 2011-2014 Довжик Михаил
Копирование материала запрещено.
СЕРВИСЫ

  Онлайн калькуляторы
  Онлайн упражнения
  Справочник
  Таблицы и формулы
OnlineMSchool

  Оплата услуг
  О проекте
  Новости сайта
  Помочь сайту
  Обратная связь
  support@onlinemschool.com