OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"

Конус. Формулы, признаки и свойства конуса

Определение.
Конус — это геометрическое тело, которое образовано совокупностью всех лучей, исходящих из точки и пересекающих любую плоскую поверхность. В месте пересечения образуется основание конуса.
Изображение конуса с обозначениями Изображение конуса с обозначениями
Рис.1 Рис.2
 
 
Изображение конуса с обозначениями Изображение конуса с обозначениями
Рис.3 Рис.4

Элементы конуса

Определение. Вершина конуса - это точка (K), из которой исходят лучи.
Определение. Основание конуса - это плоскость, образованная в результате пересечения плоской поверхности и всех лучей, исходящих из вершины конуса. У конуса могут быть такие основы, как круг, эллипс, гипербола и парабола.
Определение. Образующей конуса (L) называется любой отрезок, который соединяет вершину конуса с границей основания конуса. Образующая есть отрезок луча, выходящего из вершины конуса.
Формула. Длина образующей (L) прямого кругового конуса через радиус R и высоту H (через теорему Пифагора):

L2 = R2 + H2

Определение. Направляющая конуса - это кривая, которая описывает контур основания конуса.
Определение. Боковая поверхность конуса - это совокупность всех образующих конуса. То есть, поверхность, которая образуется движением образующей по направляющей конуса.
Определение. Поверхность конуса состоит из боковой поверхности и основания конуса.
Определение. Высота конуса (H) - это отрезок, который выходит из вершины конуса и перпендикулярный к его основанию.
Определение. Ось конуса (a) - это прямая, проходящая через вершину конуса и центр основания конуса.
Определение. Конусность (С) конуса - это отношение диаметра основания конуса к его высоте. В случае усеченного конуса - это отношение разности диаметров поперечных сечений D и d усеченного конуса к расстоянию между ними:
C = D      и      C = D - d
Hd
где C - конусность, D - диаметр основания, d - диаметр меньшего основания и h - расстояние между основаниями.

Конусность характеризует остроту конуса, то есть, угол наклона образующей к основанию конуса. Чем больше конусность, тем острее угол наклона. угол конуса α будет:
α = 2arctgR
H
где R - радиус основы, а H - высота конуса.
Осевое сечение конуса с обозначениями
Определение. Осевое сечение конуса - это сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса. Такое сечение образует равнобедренный треугольник, у которого стороны образованы образующими, а основание треугольника - это диаметр основания конуса.
Осевое сечение конуса с обозначениями
Определение. Касательная плоскость к конусу - это плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярна к осевому сечению конуса.
Определение. Конус, что опирается на круг, эллипс, гиперболу или параболу называется соответственно круговым, эллиптическим, гиперболическим или параболическим конусом (последние два имеют бесконечный объем).
Прямой конус с обозначениями
Определение. Прямой конус - это конус у которого ось перпендикулярна основе. У такого конуса ось совпадает с высотой, а все образующие равны между собой.
Формула. Объём кругового конуса:
V = 1πHR2
3
где R - радиус основы, а H - высота конуса.
Формула. Площадь боковой поверхности (Sb) прямого конуса через радиус R и длину образующей L:

Sb = πRL

Формула. Общая площадь поверхности (Sp) прямого кругового конуса через радиус R и длину образующей L:

Sp = πRL + πR2

Косой (наклонный) конус с обозначениями
Определение. Косой (наклонный) конус - это конус у которого ось не перпендикулярна основе. У такого конуса ось не совпадает с высотой.
Формула. Объём любого конуса:
V = 1SH
3
где S - площадь основы, а H - высота конуса.
Усеченный конус с обозначениями
Определение. Усеченный конус - это часть конуса, которая находится между основанием конуса и плоскостью сечения, параллельная основе.
Формула. Объём усеченного конуса:
V = 1(S2H - S1h)
3
где S1 и S2 - площади меньшей и большей основы соответственно, а H и h - расстояние от вершины конуса до центра нижней и верхней основы соответственно.

Уравнение конуса

1. Уравнение прямого кругового конуса в декартовой системе координат с координатами (x, y, z):
x2 + y2 - z2 = 0
a2a2c2
2. Уравнение прямого эллиптического конуса в декартовой системе координат с координатами (x, y, z):
x2 + y2 = z2
a2b2c2

Основные свойства кругового конуса

1. Все образующие прямого кругового конуса равны между собой.
2. При вращении прямоугольного треугольника вокруг своего катета на 360 ° образуется прямой круговой конус.
3. При вращении равнобедренного треугольника вокруг своей оси на 180 ° образуется прямой круговой конус.
4. В месте пересечения конуса плоскостью, параллельной основанию конуса, образуется круг. (см. Срезанный конус)
5. Если при пересечении плоскость не параллельна основе конуса и не пересекается с основанием, то в месте пересечения образуется эллипс (рис. 3).
6. Если плоскость сечения проходит через основание, то в месте пересечения образуется парабола (рис. 4).
7. Если плоскость сечения проходит через вершину, то в месте пересечения образуется равнобедренный треугольник (см. Осевое сечение).
8. Центр тяжести любого конуса находится на одной четвертой высоты от центра основы.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0