OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"

Эллипс. Формулы, признаки и свойства эллипсa

Определение эллипсa

Определение.
Эллипс — это замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки которой до двух точек F1 и F2 равна постоянной величине. Точки F1 и F2 называют фокусами эллипса.

F1M1 + F2M1 = F1M2 + F2M2 = A1A2 = const


рисунок эллипсa рисунок эллипсa
Рис.1 Рис.2

Элементы эллипсa

F1 и F2 - фокусы эллипсa
Оси эллипсa.

А1А2 = 2a - большая ось эллипса (проходит через фокусы эллипса)

B1B2 = 2b - малая ось эллипса (перпендикулярна большей оси эллипса и проходит через ее центр)

a - большая полуось эллипса

b - малая полуось эллипса

O - центр эллипса (точка пересечения большей и малой осей эллипса)

Вершины эллипсa A1, A2, B1, B2 - точки пересечения эллипсa с малой и большой осями эллипсa
Диаметр эллипсa - отрезок, соединяющий две точки эллипса и проходящий через его центр.
Фокальное расстояние c - половина длины отрезка, соединяющего фокусы эллипсa.
Эксцентриситет эллипсa e характеризует его растяженность и определяется отношением фокального расстояния c к большой полуоси a. Для эллипсa эксцентриситет всегда будет 0 < e < 1, для круга e = 0, для параболы e = 1, для гиперболы e > 1.
e = c
a
Фокальные радиусы эллипсa r1, r2 - расстояния от точки на эллипсе до фокусов.
Радиус эллипсa R - отрезок, соединяющий центр эллипсa О с точкой на эллипсе.
R = ab = b
a2sin2φ + b2cos2φ1 - e2cos2φ

где e - эксцентриситет эллипсa, φ - угол между радиусом и большой осью A1A2.
Фокальный параметр эллипсa p - отрезок который выходит из фокуса эллипсa и перпендикулярный большой полуоси:
p = b2
a
Коэффициент сжатия эллипсa (эллиптичность) k - отношение длины малой полуоси к большой полуоси. Так как малая полуось эллипсa всегда меньше большей, то k < 1, для круга k = 1:
k = b
a

k = √1 - e2


где e - эксцентриситет.
Сжатие эллипсa (1 - k ) - величина, которая равная разности между единицей и эллиптичностью:
1 - k = a - b
a
Директрисы эллипсa - две прямые перпендикулярные фокальной оси эллипса, и пересекающие ее на расстоянии ae от центра эллипса. Расстояние от фокуса до директрисы равно pe.

Основные свойства эллипсa

1. Угол между касательной к эллипсу и фокальным радиусом r1 равен углу между касательной и фокальным радиусом r2 (Рис. 2, точка М3).
2. Уравнение касательной к эллипсу в точке М с координатами (xM, yM):
1 = xxM + yyM
a2b2
3. Если эллипс пересекается двумя параллельными прямыми, то отрезок, соединяющий середины отрезков образовавшихся при пересечении прямых и эллипса, всегда будет проходить через центр эллипсa. (Это свойство дает возможность построением с помощью циркуля и линейки получить центр эллипса.)
4. Эволютой эллипсa есть астероида, что растянута вдоль короткой оси.
5. Если вписать эллипс с фокусами F1 и F2 у треугольник ∆ ABC, то будет выполнятся следующее соотношение:

1 =  F1A ∙ F2A + F1B ∙ F2B + F1C ∙ F2C
CA ∙ ABAB ∙ BCBC ∙ CA

Уравнение эллипсa

Каноническое уравнение эллипсa:

Уравнение описывает эллипс в декартовой системе координат. Если центр эллипсa О в начале системы координат, а большая ось лежит на абсциссе, то эллипсa описывается уравнением:
1 = x2 + y2
a2b2
Если центр эллипсa О смещен в точку с координатами (xo, yo), то уравнение:
1 = (x - xo)2 + (y - yo)2
a2b2

Параметрическое уравнение эллипсa:

{x = a cos α  де 0 ≤ α < 2π
y = b sin α

Радиус круга вписанного в эллипс

Круг, вписан в эллипс касается только двух вершин эллипсa B1 и B2. Соответственно, радиус вписанного круга r будет равен длине малой полуоси эллипсa OB1:
r = b

Радиус круга описанного вокруг эллипсa

Круг, описан вокруг эллипсa касается только двух вершин эллипсa A1 и A2. Соответственно, радиус описанного круга R будет равен длине большой полуоси эллипсa OA1:
R = a

Площадь эллипсa

Формула определение площади эллипсa:
S = πab

Площадь сегмента эллипсa

Формула площади сегмента, что находится по левую сторону от хорды с координатами (x, y) и (x, -y):
S = πab - b(xa2 - x2 + a2 ∙ arcsinx)
2aa

Периметр эллипсa

Найти точную формулу периметра эллипсa L очень тяжело. Нижче приведена формула приблизительной длины периметра. Максимальная погрешность этой формулы ~0,63 %:
L ≈ 4πab + (a - b)2
a + b

Длина дуги эллипсa

Формулы определения длины дуги эллипсa:

1. Параметрическая формула определения длины дуги эллипсa через большую a и малую b полуоси:
t2
l = a2sin2t + b2cos2t  dt
t1
2. Параметрическая формула определения длины дуги эллипсa через большую полуось a и эксцентриситет e:
t2
l = 1 - e2cos2t  dt,    e < 1
t1

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0