OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Определение.
Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

Элементы трапеции:
  • Основы трапеции - параллельные стороны
  • Боковые стороны - две другие стороны
  • Средняя линия - отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Виды трапеций:
  • Равнобедренная трапеция - трапеция, у которой боковые стороны равны
  • Прямоугольная трапеция - трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
Изображение трапеции с обозначениями Изображение трапеции с обозначениями
Рис.1 Рис.2

Основные свойства трапеции

1. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

AB + CD = BC + AD

2. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основы, так же делит диагонали пополам:

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:
m = a + b
2
4. Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований лежат на одной прямой.
5. В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
6. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями:

BC : AD = OC : AO = OB : DO

7. Диагонали трапеции d1 и d2 связаны со сторонами соотношением:

d12 + d22 = 2ab + c2 + d2


Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

1. Формула длины оснований трапеции через среднюю линию и другую основу:

a = 2m - b

b = 2m - a

2. Формулы длины основ через высоту и углы при нижнем основании:

a = b + h · (ctg α + ctg β)

b = a - h · (ctg α + ctg β)

3. Формулы длины основ через боковые стороны и углы при нижнем основании:

a = b + cos α + cos β

b = a - cos α - cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:
с = h       d = h
sin αsin β

Средняя линия трапеции

Определение.
Средняя линия - отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:
m = a + b
2
2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:
m = S
h

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

1. Формула высоты через сторону и прилегающий угол при основании:

h = sin α = sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:
h = sin γ · d1 d2 = sin δ · d1 d2
a + ba + b
3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:
h = sin γ · d1 d2 = sin δ · d1 d2
2m2m
4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:
h = 2S
a + b
5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:
h = 2S
m

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

1. Формулы диагоналей по теореме косинусов:

d1 = √a2 + d2 - 2ad·cos β

d2 = √a2 + c2 - 2ac·cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:
d1 =  d 2 + ab -  a(d 2 - c2)       d2 =  c2 + ab -  a(c2 - d 2)
a - ba - b
3. Формула длины диагоналей через высоту:

d1 = √h2 + (a - h · ctg β)2 = √h2 + (b + h · ctg α)2

d2 = √h2 + (a - h · ctg α)2 = √h2 + (b + h · ctg β)2

4. Формулы длины диагонали через сумму квадратов диагоналей:

d1 = √c2 + d 2 + 2ab - d22

d2 = √c2 + d 2 + 2ab - d12


Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:
S = (a + b) · h
2
2. Формула площади через среднюю линию и высоту:

S = m · h

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:
S = d1d2 · sin γ = d1d2 · sin δ
22
4. Формула площади через четыре стороны:
S = a + bc2 - ((a - b)2 + c2 - d 2)2
22(a - b)
5. Формула Герона для трапеции
S = a + b(p - a)(p - b)(p - a - c)(p - a - d)
|a - b|
где
p = a + b + c + d  - полупериметр трапеции.
2

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

P = a + b + c + d


Окружность описанная вокруг трапеции

Окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции!!!

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R = a·c·d1
4√p(p - a)(p - c)(p - d1)
где
p = a + c + d1
2
a - большее основание

Окружность вписанная в трапецию

В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

a + b = c + d

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

r = h
2

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:
KM = NL = b       KN = ML = a       TO = OQ = a · b
22a + b

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0