OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"

Равнобедренная трапеция. Формулы, признаки и свойства равнобедренной трапеции

Определение.
Равнобедренная трапеция — это трапеция у котрой боковые стороны равны.
На этой странице представленны формулы характерные равнобедренной трапеции. Не забывайте, что для равнобедренной трапеции выполняются все формулы и свойства трапеции.
Изображение равнобедренной трапеции с обозначениями
Рис.1

Признаки равнобедренной трапеции

Трапеция будет равнобедренной если выполняется одно из этих условий:
1. Углы при основе равны:

∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC

2. Диагонали равны:

AC = BD

3. Одинаковые углы между диагоналями и основаниями:

∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC

4. Сумма противоположных углов равна 180°:

∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°

5. Вокруг трапеции можно описати окружность

Основные свойства равнобедренной трапеции

1. Сумма углов прилегающих к боковой стороне равнобедренной трапеции равна 180°:

∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠ADC + ∠BCD = 180°

2. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона равна средней лини трапеции:

AB = CD = m

3. Вокруг равнобедренной трапеции можна описать окружность
4. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований (средней лини):

h = m

5. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты:

SABCD = h2

6. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то квадрат высоты равен произведению основ трапеции:

h2 = BC · AD

7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенному произведению основ трапеции:

AC2 + BD2 = AB2 + CD2 + 2BC · AD

8. Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции:

HF BC AD

9. Высота (CP), опущенная из вершины (C) на большее основание (AD), делит его на большой отрезок (AP), который равен полусумме оснований и меньшый (PD) - равен полуразности оснований:
AP = BC + AD
2
PD = AD - BC
2
10. Также смотрите свойства трапеции

Стороны равнобедренной трапеции

Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:

1. Формулы длины сторон через другие стороны, высоту и угол:

a = b + 2h ctg α = b + 2c cos α

b = a - 2h ctg α = a - 2c cos α

c = h = a - b
sin α2 cos α
2. Формула длины сторон трапеции через диагонали и другие стороны:
a = d12 - c2       b = d12 - c2       c = √d12 - ab
ba
3. Формулы длины основ через площадь, высоту и другую основу:
a = 2S - b      b = 2S - a
hh
4. Формулы длины боковой стороны через площадь, среднюю линию и угол при основе:
с = S
m sin α
5. Формулы длины боковой стороны через площадь, основания и угол при основе:
с = 2S
(a + b) sin α

Средняя линия равнобедренной трапеции

Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через основания, высоту и угол при основании:

m = a - h ctg α = b + h ctg α = a - √c2 - h2 = b + √c2 - h2

2. Формула средней линии трапеции через площадь и сторону:
m = S
c sin α

Высота равнобедренной трапеции

Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:

1. Формула высоты через стороны:
h = 14c2 - (a - b)2
2
2. Формула высоты через стороны и угол прилегающий к основе:
h = a - b tg β = c sin β
2

Диагонали равнобедренной трапеции

Диагонали равнобедренной трапеции равны:

d1 = d2

Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции:

1. Формула длины диагонали через стороны:

d1 = √с2 + ab

2. Формулы длины диагонали по теореме косинусов:

d1 = √a2 + c2 - 2ac cos α

d1 = √b2 + c2 - 2bc cos β

3. Формула длины диагонали через высоту и среднюю линию:

d1 = √h2 + m2

4. Формула длины диагонали через высоту и основания:
d1 = 14h2 + (a + b)2
2

Площадь равнобедренной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции:

1. Формула площади через стороны:
S = a + b4c2 - (a - b)2
4
2. Формула площади через стороны и угол:

S = (b + c cos α) c sin α = (a - c cos α) c sin α

3. Формула площади через радиус вписанной окружности и угол между основой и боковой стороной:
S = 4 r 2 = 4 r 2
sin αsin β
4. Формула площади через основания и угол между основой и боковой стороной:
S = ab = ab
sin αsin β
5. Формула площади ранобедренной трапеции в которую можно вписать окружность:

S = (a + b) · r = √ab·c = √ab·m

6. Формула площади через через диагонали и угол между ними:
S = d12 · sin γ = d12 · sin δ
22
7. Формула площади через через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании:

S = mc sin α = mc sin β

8. Формула площади через через основания и высоту:
S = a + b · h
2

Окружность описанная вокруг трапеции

Окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции!!!

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R = a·c·d1
4√p(p - a)(p - c)(p - d1)
где
p = a + c + d1
2
a - большее основание

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0