OnlineMSchool
Изучение математики онлайн.
Изучайте математику с нами и убедитесь: "Математика - это просто!"

Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба

Определение.
Ромб — это параллелограмм, который имеет равные стороны. Если у ромба все углы прямые, тогда он называется квадратом.
Ромбы отличаются между собой размером стороны и размером углов.
Изображение с обозначениями Изображение с обозначениями
Рис.1 Рис.2

Признаки ромба

Параллелограмм ABCD будет ромбом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1. Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны):

АВ = ВС = СD = AD

2. Его диагонали пересекаются под прямым углом:

ACBD

3. Одна из диагоналей (бисектрисса) делит содержащие её углы пополам:

∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC

4. Если все высоты равны:

BN = DL = BM = DK

5. Если диагонали делят параллелограмм на четыре равных прямоугольных треугольника:

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

6. Если в параллелограмм можно вписать круг.

Основные свойства ромба

1. Имеет все свойства параллелограмма
2. Диагонали перпендикулярны:

ACBD

3. Диагонали являются биссектрисами его углов:

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны умноженному на четыре:

AC2 + BD2 = 4AB2

5. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии ромба.
6. В любой ромб можно вписать окружность.
7. Центром окружности вписанной в ромб будет точка пересечения его диагоналей.

Сторона ромба

Формулы определения длины стороны ромба:

1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:
a = S
ha
2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:
a = S
sinα
a = S
sinβ
3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:
a = S
2r
4. Формула стороны ромба через две диагонали:
a = d12 + d22
2
5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла (cos α) или косинус тупого угла (cos β):
a = d1
2 + 2 cosα
a = d2
2 - 2 cosβ
6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:
a = d1
2cos(α/2)
a = d1
2sin(β/2)
7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:
a = d2
2cos(β/2)
a = d2
2sin(α/2)
8. Формула стороны ромба через периметр:
a = Р
4

Диагонали ромба

Определение.
Диагональю ромба называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов ромба.
Ромб имеет две диагонали - длинную d1, и короткую - d2

Формулы определения длины диагонали ромба:

1. Формулы большой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ)

d1 = a2 + 2 · cosα

d1 = a2 - 2 · cosβ

2. Формулы малой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ)

d2 = a2 + 2 · cosβ

d2 = a2 - 2 · cosα

3. Формулы большой диагонали ромба через сторону и половинный угол:

d1 = 2a · cos(α/2)

d1 = 2a · sin(β/2)

4. Формулы малой диагонали ромба через сторону и половинный угол:

d2 = 2a · sin(α/2)

d2 = 2a · cos(β/2)

5. Формулы диагоналей ромба через сторону и другую диагональ:

d1 = √4a2 - d22

d2 = √4a2 - d12

6. Формулы диагоналей через тангенс острого tgα или тупого tgβ угла и другую диагональ:

d1 = d2 · tg(β/2)

d2 = d1 · tg(α/2)

7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:

d1 = 2S
d2
d2 = 2S
d1
8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:

d1 = 2r
sin(α/2)
d2 = 2r
sin(β/2)

Периметр ромба

Определение.
Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.

Длину стороны ромба можна найти за формулами указанными выше.

Формула определения длины периметра ромба:

Формула периметра ромба через сторону ромба:

P = 4a


Площадь ромба

Определение.
Площадью ромба называется пространство ограниченное сторонами ромба, т.е. в пределах периметра ромба.

Формулы определения площади ромба:

1. Формула площади ромба через сторону и высоту:

S = a · ha

2. Формула площади ромба через сторону и синус любого угла:

S = a2 · sinα

3. Формула площади ромба через сторону и радиус:

S = 2a · r

4. Формула площади ромба через две диагонали:

S = 1d1d2
2
5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:

S = 4r2
sinα
6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла (tgα) или малую диагональ и тангенс тупого угла (tgβ):

S = 1d12 · tg(α/2)
2
S = 1d22 · tg(β/2)
2

Окружность вписанная в ромб

Определение.
Кругом вписанным в ромб называется круг, который примыкает ко всем сторонам ромба и имеет центр на пересечении диагоналей ромба.

Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:

1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:

r = h
2
2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:

r = S
2a
3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:

r = S · sinα
2
4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:

r = a · sinα
2
r = a · sinβ
2
5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:

r = d1 · sin(α/2)
2
r = d2 · sin(β/2)
2
6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:

r = d1 · d2
2√d12 + d22
7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:

r = d1 · d2
4a

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0